Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(J Per - (/, т) = Fix-(/, т)
m m
отрицательных периодических точек. Говоря об аналитических свойствах C-, мы можем игнорировать это конечное множество и написать
т — 1 т—1
2 E ГI»(A)= E П Я Vk*) =
KgFix- f"‘ к=0 XgSnFix- /™ к=О
т—1 т—1
= E (П - П <fkx)9(fkx)),
xeSDFixf™ к=0 к=О
15Это специальный случай гипотезы из [12], частично доказанной Балади и Ргоэлем [2].
16Мы определяем порядок мероморфной функции ? в точке Zo как единственное п Є Z, для которого (z — Zq)~пQ(z') голоморфна и не равна нулю при 2 = Zq.
§ 6. Термодинамический формализм
245
откуда получаем
C(Z) = Cs(Z)/Cs(Z)
где (g вычисляется по eg так же, как Cs — по д. Отсюда моментально следует доказываемое утверждение.
Теорема 9.21. Пусть X — компактное подмножество прямой IR, /: X -^X- кусочно-монотонное отображение, g — неотрицательная функция ограниченной вариации на X и (Ji, ..., Jn) — минимальное покрытие, связанное с /.
Обозначим через X множество /-инвариантных вероятностных мер на X, через h(p) — энтропию меры р Є Т. Пусть Rb — спектральный радиус оператора С, действующего на В. Тогда
Поэтому остается доказать, что если max(P, expP(Ing)) > 0, то R = = exp P(Ing). При этом можно предположить, что 0 > 0, так как при
0 = 0 мы имеем R = exp P(Ing) = 0.
Начнем с нескольких частных случаев, а затем перейдем к общей ситуации.
Случай А (полный сдвиг, непрерывная функция 9 > 0). Предположение, что сдиг — «полный» равносильно тому, что (Ji, ..., Jn) — образующее разбиение и /Jj = X при і = 1, ..., В этом случае, согласно стандартной теории (см. Уолтерс [1], Рюэль [4]),
§ 6. Термодинамический формализм
Rb = max(0, exp P(Ing)),
где
P(Ing) = sup (h(p) + P(Ing)).
pGX
Из теоремы 9.10 мы знаем, что
Rb = R= Hm (||?т1||0)1/т > 0.
т—> оо
cc^Fiх/™ k—0
246
Глава 9
Так как g > О, правая часть этого равенства имеет вид г 1, где г — радиус сходимости ряда
OO Tfl— 1
C(Z) = ехр[Е С E П^(fkx)\¦
т=О xGFiXjffi к=О
Теорема 9.19 и теорема 9.10(c) показывают, что если г > в-1, то г = R 1, а если г = 0-1, то R = Q, так что во всех случаях R = expP(Ing) 0.
Случай В (образующее марковское разбиение, 0). Здесь и в дальнейшем «марковость» означает, что / J* = X при і = 1, ..., С помощью предложения 9.7 мы строим систему (X, /, д), где функция д непрерывна в периодических точках. Заметим, что X — канторово множество и, значит, X — тоже канторово множество. Пусть д — наименьшая полунепрерывная сверху функция, удовлетворяющая условию д ^ д. Тогда разность д — д обращается в нуль вне некоторого счетного множества, не содержащего
периодических точек. Кроме ТОГО, Yl (э(х) — в(х)) < +ОО.
хех
Пусть (An) — убывающая последовательность непрерывных положительных функций, сходящаяся к Ing. Используя очевидные обозначения, можно написать
0„\0 = 0<0,
где первое соотношение следует из определения 0, второе — из предложения 9.8 и третье — из предложения 9.9. Покажем, что
Rn \ R = R7 R = тах(Д, 0).
Первое утверждение вытекает из определения R, второе — из следствия 9.14, а последнее — из 0-эквивалентности операторов С и С (см. предложение 9.12).
Если exp P(Ing) > 0, то можно считать, что в равенстве
P(Ing) = sup (h(p) + p(\ng))
P
мера р — неатомическая и h(p) > 0. Следовательно,
P(An) > P(Ing) = P(Ing) = P(Ing) > 0.
Из равенства exp P(An) = Rn (см. случай (А)) получаем
Rn\R = R = R>Q.
§ 6. Термодинамический формализм 247
Поэтому остается доказать, что если R > 0 > 0, то R = ехр P(Ing), причем мы уже знаем, что
©„ \0 = ё < Є,
Rn \, R = R = R.
Положив Д/0 = є2е, мы видим, что при достаточно большом п
Rn/Qn > R/0еЕ = е?.
Так как Rn = ехрP(An) (см. случай (А)), можно утверждать, что
h(Pn) + Pn(An) = P(An) ^ InQn + є
для подходящей меры рп Є Т, которая, в частности, должна удовлетворять неравенству h(pn) ^ є.17 Выделив из рп подпоследовательность, слабо сходящуюся к р, получим (см. ниже, § 9.7)
P(An) \ P(\ng) = h(p) + p(\ng), h(p) > є.
Таким образом, существует неатомическая мера 'р, удовлетворяющая тем же условиям. В частности,
P(Ing) < P(Ing) = h(p)+p(lng) =h(p)+p(\ng) < P(Ing),
так что
P(Ing) = P(Ing) = h(p) + P(Ing).
Кроме того,
Кр) + Д(1пЮ = КЩ + (^Р)(1пз) < -P(Ing).
Объединив эти факты, получим
P(An) \ P(Ing) = P(Ing) < P(Ing).
Значит, при больших п
PQn g) > P(An) — є = In Rn — є > In R — є In© + є.
,7Поскольку из определения ©п (см. § 9.3) следует, что рп(An) < In ©п. — Прим. ред.
248
Глава 9
Отсюда видно, что в формуле
P(Infii) = sup (h(p) + p(lng))
sup можно брать по неатомическим мерам р с h(p) ) ей, тем самым, по мерам р вида 7тр. Поэтому
P(Ing) = P(In5).
В итоге получаем
P(An) \ P(Ing) = P(Ing) = P(Ing),
и так как уже известно, что Rn \ R = R = R и Rn = exp P(An), мы приходим к равенству R = ехр Р(1пд).
Случай С (марковское разбиение, д > 0). С помощью предложения 9.4 построим образующее марковское разбиение. При этом будет выполняться неравенство 0 ^ 0, а в силу предложения 9.12 — равенство
