Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
І |ші 11 = I |шг 11 и если ті Є SDti, то mi и Ш2 имеют одинаковый результант. Если т Є SDt1 и р Є ЛГ, то
(результант ш равен р) <(=> (ш >- 5Р).
Говорят, что т Є SDt+ — максимальная мера, если она максимальна относительно порядка -<. Для любой меры т Є SDt+ существует максимальная мера ш, для которой т ~< т (см. [С-М], теорема 3). В частности, для любой точки р Є К существует максимальная мера с результантом р.
А.5.3. Проблема единственности
Пусть К — основание выпуклого конуса С с вершиной О Є V. Это означает, что К является пересечением С с замкнутой гиперплоскостью H пространства V, которая не содержит О и пересекает все образующие лучи С. Эту ситуацию всегда можно реализовать, заменив V на R х V и вложив К в R х V как {1} х К. Конус С определяет порядок в V (^1 Sj ?2 означает, что ?2 — Cl ^ С); если С — решетка относительно этого порядка (см. приложение А. 1.1), говорят, что К является симплексом (Шоке). Это определение не зависит от выбора С.
Следующие условия эквивалентны ([С-М], теорема 11):
(a) К — симплекс.
(b) Если р Є К, то существует единственная максимальная мера
mP ^ (т-е- каждая точка р Є К является результантом только одной
максимальной меры шр).
Для любого симплекса К отображение р н-> тр аффинно ([С-М], доказательство теоремы 11).
268 Прил. A.S. Интегральные представления на выпуклых множествах
А.5.4. Максимальные меры и крайние точки
Пусть S(K) — совокупность крайних точек множества К. Если мера та Є Wt+ сосредоточена на S(K) (т. е. если 8(К) ш-измеримо и т(К \ S(K)) = 0), то т максимальна ([C-M], предложение 15). Обратно, если К метризуемо и мера то Є SDt+ максимальна, то ш сосредоточена на S(K) ([C-M], лемма 13).
Таким образом, если К метризуемо и т Є SDt+, то
(гп максимальна ) (гп сосредоточена на S(K)).
В частности, всякая точка р Є К является результантом некоторой меры тр, сосредоточенной на S(K), и если К — симплекс, то р н-> тр является взаимнооднозначным отображением множества К на множество вероятностных мер, определенных на К и сосредоточенных на S(K). В этом случае можно сказать, что каждая точка р Є К имеет единственное интегральное представление на S(K), определяемое некоторой мерой тр, такой, что f(p) = rrip(f) для любой непрерывной аффинной функции / на К.
А.5.5. Симплексы мер
Пусть V. — компактное пространство. Зададим на пространстве '(!(H f действительных мер на О слабую топологию (см. приложение А.4.1). Тогда множество E = SDti вероятностных мер на О будет компактом, который метризуем, если метризуемо пространство О.
Пусть cS — замкнутое линейное подпространство пространства c^(Q)*. Если ш a cS следует \а\ Є cS, то множество К = E П cS является симплексом. Если р, р’ Є E П cS, то I\р' — р\I = I то,/ — шр 11. В частности, если р, р' — различные крайние точки множества E П cS, то \\р' — р\\ = 2, т.е. меры р и р' сингулярны. [Действительно, пусть H = {а Є cS: а( 1) = 1} и cS+ — выпуклый конус положительных мер из cS. Так как E HcS = H Г\ cS+, множество E служит основанием конуса cSjr. Пусть <j\, (її Є cS+', тогда меры сг± = ^(сгі + <72 ± I(Ji — сг21), которые определяются соответственно как sup(ci, 02) и inf (сі, <72) в c^(Q)*, по предположению принадлежат множеству cS, а следовательно, и множеству cS+. Ho тогда <7+ — это sup и inf мер <7i и <72 относительно порядка, определенного B cSjr. Поэтому cSjr — симплексный конус Il /.' // симплекс. Пусть теперь р, р' Є E П cS. По-
ложим р± = i(|p' — р\ ± (p' — р)) ^ 0, атакже гп± = ||/о±||тор±/||р±||, если
Прил. A. S. Интегральные представления на выпуклых множествах 269
||/°±|| Ф 0, и О в противном случае. Меры ш+ и т_ сингулярны (так как сингулярны меры р+ и р_) и їПр/ — rnp = т+ — то_ (так как р' — р = р+ — р_ и сг н-> Шо- — аффинное отображение). Поэтому
I Ip - р\I = I Ip+ - р-11 = I\р+ 11 +1\р-11 =
= ||то+|| + ||ш_|| = I ТО+ — m_|| = Il тр> — Шр||.]
А.5.6. Ж^-инвариантные меры
Пусть О — компактное пространство, т — действие группы Ж" гомеоморфизмами этого пространства и/с c^(Q)* — симплекс т-инвариантных вероятностных мер на fi. Единственная максимальная мера тр на I с результантом р Є I однозначно определяется соотношением
“-(П1-) =Л„.liSxco Кгі(|Л-Ґ' S Aor-)),
г=1 г=1 жЄЛ;
где А: / н^ R определяется равенством -А(ст) = &{А).
Крайние точки множества I называются эргодическими мерами. Эргодичность меры р Є I равносильна тому, что тр(А2) = р(А)2 для всех А Є Ч>. Интегральное представление р н-> тр называется эргодиче-ским разложением8 (см. Рюэль [3], глава 6).
8A также разложением на эргодические компоненты. — Прим. ред.
Приложение В Нерешенные задачи
В этом приложении собраны нерешенные задачи, различные по трудности и значению9.
В.1. Системы условных вероятностей (глава 2)
Насколько общим является представление системы условных вероятностей (At(A)^iv) в виде (A4(A)Jiaa)^ (П° этому поводу см., в частности, Салливэн [I].)10
В.2. Теория фазовых переходов (глава 3)
Показать, что в подходящем пространстве взаимодействий точки сосуществования п + 1 фаз образуют многообразие размерности п? Каковы отношения инцидентности этих многообразий? Как появляется критическая точка? «Эвристическая теория» содержится в работе Рюэля [8]. [Частично отрицательные результаты имеются в работах Дэниелса и ван Энтера [1] и ван Энтера [I]].11
