Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
224 Глава 9
Тогда 0 = max{0per, 0vir, ©erg}, где 0per = sup ©(ж) no периодическим точкам, 0v;r = sup ©(ж, ±) no виртуальным периодическим точкам и 0erg = sup 0(p) no неатомическим f -эргодическим мерам p.
Чтобы доказать это, положим
т— 1
С(т) = sup Y lnIfllCffeaOI-
хЄХ k=О
Тогда
и, следовательно,
С(т + п) < С(гп) + С(п)
Iim ^С(т) = inf С [m),
п—>оо 111 т 111
что оправдывает данное выше определение 0.
Беря в качестве х поочередно периодическую точку, точку, стремящуюся К периодической, И р-ПОЧТИ любую точку, получаем 0 J=S ©per, ©vir, ©erg-Остается убедиться, что 0 ^ max{0per, 0vjr, 0erg}; при этом достаточно ограничиться случаем 0^0. Пусть х(а), т(а) таковы, что т(а) —> оо и
т(сх) — 1
-4т E ^\g{fkx(a))\ In©. ш{а)
Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно предполо-
ш(а) —1
жить, что р(а) = —— V StkxIcA слабо сходится к некоторой вероятна) к=о
ностной мере р на X. Эту меру мы представим в виде р = ро + pi, где ро — атомическая мера (сосредоточенная на множестве периодических орбит), а pi — неатомическая.
Выберем теперь ро (a), pi (а) так, что р(а) = ро(а) + pi (а) и ро(а) —> ро, pi(a) —> pi в смысле слабой сходимости. Если 0per = 0v;r = О, то ро = 0 и мы полагаем ро(сс) = 0. В противном случае возьмем S > 0 и
определим Po (а) равенством ро(сс) = —* 5гкхга), где сумма * при
т(а) у
фиксированном а берется по длинным отрезкам значений к, для которых точка fkx(a) близка к некоторому конечному множеству периодических орбит. В частности, мы можем предположить, что
—J— У' \n\g(fkx(a))\ < IlPo(Qj)IKlnmaxIGper, ©vir} + S). т,(а) 1 1
§ 3. Функционал 0 225
Необходимо рассмотреть лишь случай pi ф 0. Вначале предположим, что pi (In |д|) = —оо. Для заданного N > О можно подобрать такое є > О, что если \д\Е(х) = max{|g(a;)|, є}, то pi (In |<7|є) < — N. Заметим, что pi приписывает нулевую меру множеству точек разрыва функции In | <71 є, которая ограничена и имеет ограниченную вариацию, откуда следует, что рі{а) (In |д|є) —> pi (In \д\е) ^ —N. Следовательно, для всех N ^ О
In© = Iimр(а) (In |(?|) < Ilpoll (lnmax{0per, ©vir} + S)-N,
а потому 0 = 0, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, pi (In \д\) > —ос и можно подобрать такое є > 0, что
pi (In Isle) < pi (lnIsrI) + IIpiII^
Поскольку мера pi множества точек разрыва функции In |д\? равна нулю, мы имеем pi (а) (In \д\Е) —> pi (In \д\Е) и, значит,
In©= Iimр(а) (In \д\) <||ро|| (1птах{0рег, ©vir} +5) + ІІРіЦ (In©(pi) + <5),
где pi = Pi / ІІРі И - Индивидуальная эргодическая теорема и теория Крылова-Боголюбова показывают, что <d(pi) ^ 0(рО для некоторой эргодической меры р', а так как 0(//) ^ max{0per, 0erg}, мы окончательно получаем
In 0 < S + In max{0per, 0vir, 0erg},
что и доказывает утверждение.
Предложение 9.9. Пусть 0 отвечает системе (X, /, д), а 0 — системе (X, /, д), фигурирующей в предложениях 9.1, 9.3, 9.3 и 9.7. Тогда в случае предложений 9.1 и 9.3 мы имеем в = в, в случае предложения 9.4 можно так выбрать д, что 0 ^ 0, а в случае предложения 9.7 мы также имеем 0^0.
В условиях предложения 9.1 переход от первой системы ко второй может привести к замене одних периодических орбит другими с тем же 0, но без изменения виртуальных периодических точек и эргодических мер; следовательно, 0 = 0.
В условиях предложения 9.3 выбор g гарантирует, что если ? Є Fix fm, то либо 0(?) = 0, либо ? = тгх, где х Є Fix/™, а тогда 0(?) = 0(C)- Если (С, ±) — виртуальная периодическая точка для /, то либо 0(?, ±) = О,
226
Глава 9
либо ? = их, где х — /-периодическая. В таком случае либо (х, ±) — виртуальная периодическая точка для / и 0(?, ±) = 0(х, ±), либо 0(?, ±) = 0. Если, наконец, р — эргодическая мера для / и 0(р) > 0, то р сосредоточена на множестве точек вида их, так что р = тгр, где р — /-эргодическая мера, и 0(/5) = 0(р), вследствие чего мы получаем 0 = 0.
В условиях предложения 9.4 необходимо начать с продолжения д на все X. Если /-периодическая точка ? имеет период то, то /™ отображает замкнутый интервал 7г-1? в себя. В случае, когда множество 7r_1?nFix/m непусто, положим CjifkS,) = g{fkx), к ^ 0, где х — какая-нибудь точка этого множества. Если же 7r_1?nFix/m = 0, то ? Є Fix- fm и существует точка х Є 7г-1? П Fix/2™. Положим тогда
QifkO = (gifkx)gifm+kx))1/2, к ^ о,
где квадратный корень выбран так, что точки Cj(JkX), g(fkx), g(fm+kx) принадлежат одной и той же половине комплексной плоскости, граница которой проходит через начало координат. Из этого определения с помощью простого геометрического рассуждения, использующего подобие треугольников, получаем
9(IkX) - 9ifkx) I +1gifm+kx) - Mfk*) I < 2 Ig(fm+kx) - g(fkx) \ . (3.1)
Поскольку g(?) уже определено для периодических ?, положим д(?) = = д(7г-1?) для всех остальных ? (данное определение согласуется с определением, содержащимся в предложении 9.4 и замечании 9.5(1)). В силу (3.1) Varg Sj 2 Var д.
По построению 0рег Sj 0Рег- Если неатомическая мера р является /-эр-годической, то она приписывает нулевую вероятность счетному множеству {?: Cardvr-1^ > 1}. Следовательно, существует такая /-эргодическая мера р, что тгр = р и 0(р) = @(р), а потому 0elg < 0erg- Пусть (?, —) — виртуальная периодическая точка периода m для / и ?. Если ха Є 7г_1?а и ха / х, то х Є Fix/™ и limg(?a) = Iimд(ха), так что выполняются равенство 0(?, —) = <Э(х, —) и аналогичное равенство для (?, +). Следовательно, 0vir ^ 0vir и, таким образом, 0^0.
