Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
осциллирующим; один из способов восстановить сходимость таков: добавить
затухающий член
и устремить в к нулю по окончании вычислений. Тогда подынтегральное
выражение примет вид
Предположим теперь, что в случае осциллятора с внешней вынуждающей силой
мы хотим вычислить амплитуду перехода из состояния Q в бесконечно далеком
прошлом в состояние Q" в бесконечно далеком будущем. Чтобы осуществить
это, удобно ввести преобразование Фурье
дение:
<Q't\ QT>E = fVqt
ifldt [-5- 72- - <*2 q2 + F (t ) q (Г)] 1 2 2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
и обратное ему преобразование
Функционал действия в квантовой механике
75
где G - любая функция времени t, a G - ее фурье-образ. Выразим q (t) и
F(t), входящие в (3.1), через их фурье-образы:
'-'Г-
-М2 + ie 1 q(E)q(E'), (3.5)
+?•(?')?(?)]. (3.6)
Интегрирование по t, использование интегрального представления (2.12) для
6-функции и затем интегрирование по Е~ приводит к выражению в показателе
экспоненты
¦у flz dE[{E2 -СО2 + iz)q(E)q{-E) + q(E)E(-E) +
&^(-Е)7(Е)}. (3.7)
Определяя новые переменные в ^-пространстве Т(Е) =?(?) + J-Щ- (3.8)
Е2 - со2 + ге
или в (-пространстве
q'(t) - q(t) + f -¦== elEt E(E) (3.9]
V7" E2 _ "2 +if6 ' *
приходим к выражению для амплитуды перехода
1 -+<*, ,eF(E) F(-E)
dE-
J па
X
*;S,.T
Теперь-то и проявляется магия интеграла по траекториям, поскольку якобиан
преобразования (3.8) равен единице. Следовательно,
ЗУ=$<7 (3.11)
и в последнем множителе в формуле (3.10) мы узнаем амплитуду пере-
76
Гпава 2
хода при F = О, так что в результате
-i f +°° F(E)F(-E)
<q:\q^>f = <qi \ q->f = o e'-wUh ¦¦
(3.12)
Зависимость от F выделена в явном виде. Можно еще немного преобразовать
это выражение, придав ему форму интеграла по времени
exp)- - / + ~ dtF(t)D(t~t')F(t')dt'\, (3.13)
2
j г - ; (i - t * ) Е где Д(*" . (3.14)
Каков физический смысл выражения (3.13)? Допустим, что вынуждающая сила
отсутствует в моменты времени "=+"•. Тогда в эти моменты времени
вакуумные состояния не будут зависеть от существования силы F. Пусть | Q
+ м > - вакуумные состояния в бесконечно далеких будущем и прошлом.
Выразим их через состояния | Q ±м, которые входят в выражение (3.12).
Имеем
< й+о. I й > F =
= fdQ'dQ<Q+j $;"><<?; j q^>f<q^ i<u.> =
= f dQ' dQ<Q+ge I <?;">< <?;j <*__"> о X
X < 2-J Q^> e~T <FDfS
(3.16)
где мы учли выражение (3.12) и ввели обозначение < ...> для указания
интегрирования по t и t'. Пользуясь теперь выражением ( 3.15) с F = 0,
можно переписать (3.16) в виде
_ < FDF>
< ^ + I = F - О е 2 • ( 3.17 )
Но величина <Q+(J Q_".> F=0 есть амплитуда того, что система,
находившаяся в бесконечно далеком прошлом в основном состоянии > окажется
в бесконечно далеком будущем в отсутствие всякой вынуждающей
Функционал действия в квантовой механике
77
силы. Такая амплитуда должна равняться 1 (если она нормируема).
Следовательно, выражение (3.13) мы отождествляем с амплитудой перехода
системы из основного состояния в пропилом в основное состояние в
будущем при наличии внешней вынуждающей силы.
Обозначим величину (3.13) символом W[ F] и введем Z[ F] в соответствии с
равенством
W[ F] < Fl°12 Fl > 1:2^e-iZ[F]. (3.18),(3.19)
Здесь вновь символ <...> 12 означает интегрирование по немым
переменным"!" и "2", при этом Fj означает Г^т.д. Заметим, что функционал
W нормирован так, что 1Г[ 0]- 1.
Нетрудно показать (см. задачу), что
D{t) =_!------- [ в( t ) е ~iwt + B{-t ) е 1'"г ], (3.20)
2 i со
где в (л:) - ступенчатая функция:
fl, *>0,
I (*) = -/ (3.21)
х < 0.
Далее, непосредственно дифференцируя выражение (3.14), мы убеждаемся, что
(?2 + ш 2)D(t) = -5(0. (3.22)
dt 2
Следовательно, D{t) есть функция Грина оператора (d2 / dt2) + со^, а
правилом добавления - it , предписываемым интегралом по траекториям,
фиксируются граничные условия. Как явствует из выражения
(3.20), D{ t) представляет собой смесь запаздывающего и опережающего
сигналов. Это "предшественник" фейнмановского пропагатора, описывающего
распространение сигнала как обусловленное двумя факторами: движением
состояний с положительной энергией (частиц) в положительном направлении
во времени и состояний с отрицательной энергией (античастиц) назад во
времени.
Отметим еще одно интересное обстоятельство: выражение (3.13) можно
продолжить на мнимые значения Е, не встретив1 при повороте контура
никакой сингулярности (рис. 1), Возможность выполнения та-
78
Глава 2
Im?
t ReE
P и c.1.
кой операции, называемой виковским поворотом, очень существенна,
поскольку эта операция соответствует рассмотрению с самого начала
"евклидова" (t •* it) определения интеграла по траекториям. Такой способ
альтернативен введению i е -затухания, ибо подынтегральные выражения в
евклидовом пространстве уже не осциллируют. Например, мы могли бы начать
с выражения
_/ [_L (J± ) 2 +- СО2 9 2 -Fq]
WE[F}=f§qe 2 dt 2 t (3.23)
полученного подстановкой т - it в формулу (3.1). Тогда ответ в
действительном времени получается аналитическим продолжением выражения
