Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
бесспиновым полем и полем со спином 1/2, оставляющих инвариантной сумму
их кинетических членов (с точностью до канонического преобразования). Для
большей убедительности нужно проверить, является ли эти преооразования
замкнутыми и образуют ли они группу. Вначале посмотрим, как действуют на
поля два суперсимметрич-
ных преооразования. Имеем [Sj, б2 ] S = аа2 б, у -(!<-"• 2) =
= a52[aypal(?PS - i Ь урУ 5 a<?P Р] - (1 - 2) = 2а2 5 , ур a ,dp S .
(8.13)
В последнем равенстве мы воспользовались свойствами майорановско-го
переворота для аксиально-векторной части. Следовательно, действие двух
суперсимметричных преобразований на поле S сводится к трансляции поля S
на величину 2 i а2 a 2ypa j. Посмотрим, что происходит с полем Р:
[ б1# 62] Р= i Ъ а 2у5б lX - (1 "-* 2) = 2 Ь 2а 2ур0( ^Р pt (8.14)
56
Глава 1
опять с учетом тождества для майорановского переворота аксиального
вектора. Поскольку преобразования полей S, Р их должны быть одинаковы,
необходимо положить
¦Ъ=±а. (8.15)
Убедимся, наконец, в том, что два суперсимметричных преобразования поля х
представляют собой трансляцию. Имеем
С51" 52] X = аУр" 2^Р515 " ih УрУ5а2^Р51^~ (1 ¦ 2) =
= a2ypa2ai3Px + Ь2ГрГ50 2- 1Г^Рх_(1^2). (8.16)
Хотелось бы переписать правую часть этого равенства в форме, похожей на
остальные, т.е. содержащей комбинацию а2ура,, а не a2a j. Для этого
применим прием, предложенный Фирцем. Возьмем любые два дираковских
спинора (не обязательно майорановских) ? и Л; 4к 4-мат-рииу AH' можно
представить в виде линейной комбинации 16 дираков-ских ковариантов/,у5)
у5 уц, уЦ) apv= 1/4[уц, yv 1. Коэффициенты вычисляются путём взятия
соответствующих следов. В результате имеем
лф = - _L Фд - i_ у5тГ5л * ± у5Ур?У5уР_ _L ур7уРл к
+ у <^ра^^раА. (8.17)
Числовые коэффициенты всех членов образуют первую строку знаменитой
матрицы Фирца. Они содержат всю необходимую информацию для построения
матрицы в целом. В применении к нашему случаю находим
a251_a1a2 =------]- а ^"гУр f " l0-PCTa 2ff рст > (8*18>
если одновременно использовать свойства майорановского переворота. С
учетом формул (8.15) и (8.18) получаем
L б 1, б2 ] X = а 2сх2УРа 1УРУ|/^Х- (8.19)
Воспользовавшись антикоммутатором для у-матриц, переришем это выражение в
виде
? 51, S2 J X = 2 а 2 a 2УР " - о 2 а 2y^a 1умур^(зХ* (8-20)
Первый член и есть нужный нам результат, но, к сожалению, у нас возник
дополнительный член, пропорциональный урд^х- Этот дополнитель-
Функционал действия
57
ный член исчезает только в том случае, когда справедливы классические
уравнения движения. Чтобы устранить этот член, мы можем расширить
определение вариации Бх и посмотреть, к чему это приведет. Заметим, что
если добавить к выражению (8.12) для Бх дополнительную вариацию вида
бдопХ=(^у5С)а, (8.21)
где F и G - функции координаты м, но не канонические поля, так как их
размерность равна L~2, то выражения (8.13) и (8.14)-не изменятся
благодаря свойствам майорановского переворота. Например,
[ 5 j, 52] доп5 = aa26j доп х - (1 - 2) =
= aa2(F + iy5G) a, - (1 *¦* 2) = 0. (8.22)
Однако эта добавочная вариация дает вклад в преобразование х, а именно:
-&i. б2 ] доп х = (Sj^ f :iy56i G)a2 - (1"-* 2). (8.23)
Дополнительный член в формуле (8.20) можно переписать подходящим образом
с помощью фирцевского преобразования
52УЦа1Уц = ai"2 -У5"1а2У5 - (1 "-*¦ 2). (8.24)
Сравнение с выражением (8.23) показывает теперь, что выбрав
6 jf = а 2а 1УРй^х, б,С = - iо2 S5уРарХ, (8.25), (8.26)
мы сократим дополнительный член и получим желаемый результат. Оставляем в
качестве упражнения (см. задачу) доказательство того что в применении к
функциям F и С выполняется операторное соотношение
[&,,б2] = 2а2 5^,3и. (8.27)
К сожалению, новое выражение для Бх не оставляет инвариантным исходное
действие из-за наличия члена 5допх. Но заметим, что
6flon?oZ -SflonXy'^x-iSyP^F-ay.yP^xG =
1 б (F2 +. G2). (8.28)
Ъ2
Следовательно, действие
SfZ d*xl Y duSd"S + -l^F^F* -1 ХУ%Х
1
2 a:
(F2 f G2)] (8.29)
58
Глава I
инвариантно относительно преобразований суперсимметрии SS=aocx; 6Р= to
ays х> 5F = а 2 ауРд^х; 6G = - i а 2 ау5 ур<??Х;
(r)Х = * а Р+ (F + гу5?)а.
(8.30)
Все эти преобразования удовлетворяют теперь операторному уравнению
(8.27). Такое действие впервые было написано Вессом и Зумино
Благодаря введению вспомогательных полей F и G у нас теперь независимо от
уравнений движения имеется одинаковое число бесспи-новых (S, Р, F и С) и
спинорных (четыре действительные компоненты поля х ) полей. Читатель
может сам убедиться, что "на массовой по верхности" (т.е. на классической
траектории), где поля F и G не являются необходимыми, баланс между
бесспиновыми и спинорными степенями свободы все равно сохраняется* Этот
баланс между числом бозонных (целый спин) и фермионных (полуцелый спин)
степеней свободы есть общая закономерность суперсимметричных теорий.
Из выражения (8.27) следует, что результатом двух суперсимметричных
преобразований является трансляция. Вдобавок к этому, поскольку
