Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
В результате
, r + 00 dl i(bt/H)[hl'q-.±-%2l2 - ис?)] +
< 4t + St I Ь > = /_" - е 2
Z ТГ
+ 0((5t)2). (2.16)
На этой стадии манипуляции становятся формальными и не очень хорошо
определенными. Мы хотим взять интеграл по I, а подынтегральное выражение
- чисто осциллирующая функция. Есть два способа выйти из этого положения:
.либо искусственно ввести для сходимости множитель вида e~tl ,,либо
формально считать iSt "действительной" величи-ной, т.е. продолжить
выражение в евклидово пространство, заменив t на i t . Сохраним на время
множитель i б t и будем рассматривать его как действительную константу.
Тогда,производя замену переменных
1~* Г = (JM- ) И (П1 - q), (2.17)
%
приходим к выражению
HL (J_ я2 - V(q)}
^ ' I 1 h 2
< Ь + 5" I Чг > = - е , . ,7
2тт r+"c dlm -4-1 2
' ¦ (2.18)
Вычисляя гауссов интеграл, получаем
1 _L(r)L[-r ^
< Я\ + 51 I 4t > = ' * '
\(aTT ( 0 t n
Напомним, что величина q определена формулой (2.15) и в нее вхо-дит как
q', так и q. Величина, стояшая в квадратных скобках, действительно
является .лагранжианом. Следовательно, гипотеза Фейнмана оказывается
правильной, если не считать того, что возникшая константа по меньшей мере
необычна. Таким образом, для конечного интервала времени
< qf \ qL > ~ lim f f dq.--(-? ) И \
* T St+0 j = 1 V 2iri8th
N S t фиксировано
X €
(i/h>f*TLdt . (2.20)
(qfmqN, 9**90 )•
72
Глава 2
Предполагая, что этот предел имеет смыол, мы видим, что вряд ли можно
опустить константу пропорциональности между амплитудой перехода и
интегралом по траекториям. Этот вывод является строгим для систем,
описываемых гамильтонианом вида (2.9),
Предположим теперь, что мы хотим вычислить амплитуду пе" рехода для
системы с классическим гамильтонианом вида
н=± p2v(q), (2.21)
2
где v {q) - некоторая функция переменной q. Нужно очень аккуратно
определить соответствующий оператор Гамильтона, поскольку р и q не
коммутируют. Теперь очередь за предписанием об упорядочении. Определим
симметричное упорядочение "..." так, что
<ч] 2М?)" К>= /1: -^-11 12V(1±SU)X
х е (2.22) Как нетрудно убедиться, таким условием действительно
определяется некое упорядочение. При этом q и q' рассматриваются
равноправно.
Далее, полагая h = 1, путем непосредственных вычислений получаем, что
г
# dl - q)-i St~l2v(LLli') +
< ?*+5t I e 2
ТГ + О ((81 )2), (2.23)
так что интегрирование по I становится более сложным. Производя замену
переменных
I' - \J ?5 t (I vl/* - v1^ q), (2.24)
где q - величина, определенная формулой (2.15), находим
1*2 ф
1 - iSt - Я 1 ^ ^ / 2. -
< Ч, + к, I qt> =- е 2t> -г=Г~ ' -<* dl е
4t + St I 'i 2тт V i 6 tv
(2.25)
1 - i 51 - v "1 g2 i
- 1 e 2 4 (-1- ). (2.26)
Функционал действия в квантовой механике
73
Выражение в показателе экспоненты можно интерпретировать как лагранжиан
L=J_i~Ч2, (2-27)
2
в чем нетрудно убедиться, образовав каноническим способом гамильтониан
(см. задачу); но в (2.26) имеется и дополнительный член v~^ [ (q + q')
/2], который в данном елучае вносит вклад в интеграл по траекториям,
имеющий вид
N ~1 dqt _у +г Г * L dt
< qt | qT> = /... / П ¦-- ¦¦¦ v (?" + 7i_ 1 ) " i = l у Zjtio t
(2.28)
Заметим, что это выражение отличается от наивного выражения, в котором
траектория берется только с весом е,s. Таким образом, магическая мера " ?
q " иногда содержит странные сюрпризы, вроде множителя v~1/г в данном
случае. Отсюда можно извлечь один урок: правильное выражение для
амплитуды перехода получается только в том случае, если сначала
используется гамильтонов формализм. Более правильное выражение имеет вид
! -ч - г гФ Ф п9а\
\ qт J *** f р р(r) 9
где '*? р" означает П(с?рг /2тт), а < q> - среднее значение переменной q
на данном интервале. Итак, выражение для амплитуды перехода в виде
экспоненты от действия следует рассматривать как выведенное из
фундаментальной формы (2.29), содержащей гамильтониан.
Задачи
A. Выведите формулу (2.11), непосредственно вычислив матричные элементы
оператора И в импульсном представлении и затем выполнив обратное
преобразование в ^-представление.
Б. Найдите точные выражения для "qnp" и "qn р2" в соответствии с
определением, содержащимся в соотношении упорядочения (2.22).
B. Пользуясь обычной процедурой,покажите, что .лагранжиан L = У v~lq2
приводит к гамильтониану Н = Уг р2 ь>(<?).
Г. Покажите, что если Т < tl}t2< t, то
i ( d t\_pq - Н]
f§q$pq(t )q(t2)e = < q\ | T [ q (t г) q(t 2)]| qT> ,
74
Глава 2
где симврл Т [...] означает хронологически упорядоченное произве-
§ 3. Интеграл по траекториям и гармонический осциллятор, находящийся под
действием внешней силы
Очень хорошей иллюстрацией к применению метода интеграла по траекториям
может служить задача о гармоническом осцилляторе, на который действует
внешняя сила. Мы хотим вычислить амплитуду перехода при наличии
действительной вынуждающей силы F
со следующими граничными условиями: q = Q' в момент времени t и q = Q в
момент времени Т. Записанное так подынтегральное выражение будет чисто
