Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Т:
68
Глава 2
- 'I ( i/h ") f т L d t
<q. \qT # (2Л)
Подчеркнем, что тильда " означает всего .лишь некоторую неопре-деленную
связь между правой и левой частями, так как при выводе формулы (1.44 )х)
Дир'аку пришлось сделать множество предположений без как ого" либо
обоснования. В самом деле, как нетрудно видеть, знак равенства в формуле
(2.1) был бы неправилен, если считать временной интервал Т - t конечным.
Действительно, разобьем Т - г на N бесконечно малых временных интервалов
г а = г + а е-, N в = Т ~ t. Пусть qa = q{ ; тогда, используя соотношение
полноты (1.33) для каждого ta, можно11 написать
< О <3Т> ~ f dq1dq2 ... dqN _ j < q' | ?1 > < ?1 | q2> ...
... < -i I Чт> • (2.2)
Это точная квантовомеханическая формула. Если считать, что соотноше" ние
(2.1) есть равенство, то интеграл в экспоненте можно разбить на много
областей интегрирования и это приведет к неправильной форму"
,ле
< ?,' | дг> = < 9* I >< 9i I q2 > ••• < 9/V- 1 I Чт >' (2'3)
отличающейся от правильной отсутствием промежуточных интегрирований. В
последней формуле qlf q2> ... - классические значения траектории,
взятые в моменты времени tls t •... .
Но если предположить, что в формуле (2.1) выполняется равенство (с
точностью до константы) трлько для бесконечно малого промежутка времени,
т.е.
-("/й) 5f L (?г, qt + 5г ,
< q t I 9t + 6 t > = " (2.4)
где L (как в теории Гамильтона - Якоби) понимается как функция переменных
q'f и qt + s t , то мы не вступим в противоречие с квантовомеханической
формулой (2.2 ). Именно это и сделал Фейнман [3]! Если подставить (2.4) в
(2.2), то это приведет к фейнмановскому интегралу по траекториям
амплитуды перехода:
4 Номер главы будет указываться только в ссылках на формулы из предыдущих
глав.
Функционал действия в квантовой механике
69
< Я', I ЧТ > = AN Г ( П dqi ) е
t 1 N -> с* i=l
N - 1
-( */Л) / у1 dt L(q, q)
^ 6 фиксировано
=/ $?e-C</A)S(t. Г,[ ?])
(2.5)
(2.6)
где второе выражение есть просто хитрый способ скрыть то, что мы не знаем
меру интегрирования. Граничными условиями служат значения траектории,
взятые в начальный и конечный моменты времени.Формула
(2.5) означает, что если вы хотите вычислить амплитуду вероятности того,
что частица, находящаяся в момент времени Т в точке q, будет находиться в
момент времени t в точке q*, то вам нужно представить эту амплитуду как
сумму по всем возможным траекториям, которые наг чинаются в момент
времени Т в точке q и кончаются в момент времени г в точке q'} с весом,
равным экспоненте от произведения отношения (-г А) на действие,
вычисленное для конкретной траектории. Из такой формулировки ясно видно
различие между классической и кван-товой механикой. В первом случае
частица движется только по одной траектории, идущей от q до q*, а во
втором вклад дают все траектории.
Формула (2.6) очень ясно указывает на то, какова связь между классической
и квантовой механикой. В классическом пределе % ¦* О подынтегральное
выражение при изменении q будет осциллировать со все большей частотой и
само себя гасить, если только действие S не является почти постоянным; но
это так и есть, когда S стационарно и q - классическая траектория (а
может ,ли быть несколько стационарных точек?). Таким образом, мы видим,
что при h ¦* 0 классическая траектория естественным образом выделяется и
восстанавливается формула (2.3), но только в классическом пределе.
Благодаря указанной связи, отмеченной впервые Дираком, функционал
действия и становится столь важным понятием. Мы видели, что действие S,
как оно ни прекрасно, играло лишь очень незначительную роль в
классической механике, поскольку там требовалось только знать положение
его экстремумов. В квантовой же механике действие используется во всех
точках. Обращаясь к прошлому, как не задуматься над тем, задавали ,ли
себе физики прошлого столетия вопрос, почему так мало берется от понятия
действия!
Проверим теперь путем явных вычислений, насколько справедлива гипотеза
Фейнмана (2.4). Пусть Н - независящий от времени оператор Гамильтона
нашей одномерной системы. В гейзенберговской кар-
70
Глава 2
тине состояние | q > в момент времени t + б t получается из состояния в
момент времени t оледуюшим образом:
I qt + St >Й1 Н \ ?, > + О ((St )2 )• (2.7)
%
Отсюда
< ?t + St I Ь > = < ч\ I qt > < q' | Н I qt* 5
t V 0 (St)2 ).
(2.8)
В качестве простого примера положим
?tJ_ р + v(q), (2.9)
2
чтобы избежать (на время) трудностей с упорядочением. Тогда
< ч\ I Н\ qt> = [ ----+ Т(?) ]< | ?{ > - (2.10)
2 <9 д2
= Г+°* 1L [ *1-Л1 + J/(а)] с а(я'-9)
2тт 2 "Э92
(2.11)
если использовать формулу (1.32) и интегральное представление 5-функции
5 (х-х')= f+,х - eil (*-*') , (2.12)
2тг
Собирая все формулы и выполняя дифференцирование по q , получаем
<"..5,1?. > = /!: с.*"<,,,)¦
+ C(St2)J, (2.13)
где
l](l q)=*L. I2 + V(q). (2.14)
2
Положим
qr' - q = AjL 5 t = 96 t (2.15)
d t
Функционал действия в квантовой механике
71
и поднимем Н в показатель экспоненты [ вводя при этом ошибку О ((St)2 )].
