Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
собственных состояний полного набора операторов, коммутирующих с
гамильтонианом и друг с другом. Затем, пользуясь гамильтонианом, находят,
в каком состоянии окажется система в более поздний момент времени t.
После этого вычисляют амплитуду перехода из состояния 50 в момент времени
t0 в состояние S в момент времени t и т.д. Как нетрудно видеть, время в
таком описании играет центральную роль, и в случае релятивистской системы
это вызывает беспокойство, поскольку теряется явная лоренцовская
инвариантность теории, хотя окончательный результат и оказывается ре-
лятивистски-инвариантным. Поэтому Дирак и искал такую формулировку, в
которой время не было бы особо выделено. В своих поисках Дирак обратился
вновь к классической механике, в которой известны два (эквивалентных)
подхода: гамильтонов, в котором с самою начала выделяется время, и
лагранжев, в котором этого нет. Конкретно Дирак выяснял, каков смысл ФД в
классической механике, с намерением обобщить это понятие в квантовой
механике. В классической механике действие является генератором
канонического преобразования, переводящего систему от одного момента
времени к другому. Поэтому будет неплохо освежить наши знания о
канонических преобразованиях.
62
Глава 2
§ 1. Канонические преобразования в классической и квантовой механике
Рассмотрим частицу, движующуюся в одном измерении. Состояние движения
этой частицы в момент времени t задается ее координатой q и импульсом р,
являющимися независимыми функциями времени t. Изменение этих функций со
временем определяется системой двух дифференциальных уравнений первого
порядка (уравнений Гамильтона)
JdL. * JUL , d.P = _ ЭН (1Л)
dt д р dt д q
где гамильтониан Н зависит от q, р и t и представляет собой энергию
системы. Уравнения Гамильтона можно изящно записать, если ввести скобки
Пуассона
U,B\ = lL.JA.il., (1.2'
9,р dq др д р dq
где А и В - две произвольные функции переменных q, р и
г. Тогда
уравнения Гамильтона принимают вид
Ал. = j q, н\, А^=\р,Н\' (1,3)
dt dt
Отсюда следует, что если F - любая функция переменных q, р и t, то ее
производная по времени равна
-HL * F,H \ +JA-- (1-4)
dt $ t
Последний член учитывает любую явную зависимость функции F от
времени. Уравнения Гамильтона можно вывести из вариационного принципа
Б/*2 dt(ph- - Н(р. <?))= °, (1-5)
11 dt
причем независимые вариации б р и Б q принимаются равными нулю в концевых
точках.
Определим каноническое преобразование р ¦* Р, q -" Q (1*6)
как такое преобразование, при котором не меняется форма уравнений
Гамильтона, т.е. в новой системе переменных (Q, Р) существует та-
Функционал действия в квантовой механике
63
кой новый гамильтониан К (Q, Р), что
= (1.7)
dt ЭР dt dQ
Ясно, что эти уравнения также можно вывести из вариационного принципа
б/'2 dt(PiS- - Я Р))=0. (1.8)
*1 dt
Отсюда вытекает условие, что подынтегральные выражения в формулах (1.5) и
(1.8) могут отличаться не более чем на полную производную по времени:
piiL _я(9,р) = р42_ - Н(<2, Р)+4f (1-9)
dt dt dt
Функция G называется производящей функцией канонического преобразования.
Она может зависет от г и от .любой "смешанной" пары переменных (q, Q),
(q, Р), (p"Q) или (р, Р). Пусть G зависит от пары
независимых, переменных (q, Q). Тогда
dG _ д G + dG dg + dG dQ (1.10)
dt d t d q dt dQ dt
Рассмотрим теперь выражение (1.9), считая q и Q независимыми переменными.
Мы получаем, что
и остающиеся переменные (р, Р) выражаются теперь в виде
р = ??- , Р=-^, (1.12)
Р дч SQ
а новый гамильтониан определяется формулой
Н= H+-ZZ-. (1-13)
dt
Можно с равным успехом начать с того, что взять функцию G, зависящую от
переменных (q, Р). Тогда аналогичные рассуждения приводят к уравнениям
,= й..9М" р) , Q = dG.i3t р) " (1.14)
dq дР
64
Глава 2
В частности, выбор G в виде
G= qP ? (1.15)
приводит к тождественному преобразованию, как можно убедиться с помощью
уравнений (1.14). Поэтому бесконечно малое каноничео кое преобразование с
параметром е " 1
Q = q + О (в ), Р= р + О (в ) (1.16)
будет порождаться производящей функцией, отличающейся от выра-жения
(1.15) членом, пропорциональным е :
G(q, Р)= qP+iF(q,P) + 0(*2)= П-17)
= q Р+ в F (q, р) + 0(в2), (1.18)
так как р отличается от Р на величину О (в). Функция F {q, р Ь .которая
зависит теперь только от исходной системы, называется генератором
канонического преобразования. Подстановка выражения (1.18) в (1.14) дает
p=P+?iZ., Q=q+eM-, {1.19), (1,20)
dq др
ИЛИ
5 9 s Q - q ~ 6 = 6 i ^ U 5 p = P- p
= -e =E { p, F} .
Эр dq
(1.21), (1.22)
Отсюда следует, что бесконечно малое изменение любой функции f переменных
q и р, вызванное бесконечно малым каноническим преобразованием с
генератором F {q, р) и параметром в дается выражением
5f(p"q)=if{p>q))tF\. (1.23)
В частности, сравнивая это выражение с (1.4), мы видим, что гамильтониан
является генератором бесконечно малых трансляций во времени.
Представим себе теперь очень специальный тип канонического
преобразования, которое отображает переменные q, р на множество других
