Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
94
по таблицам Фишера (табл. П10). Для других уровней значимости критические точки можно найти в таблицах, приведенных в работах [9,12]. Иногда проводят двустороннюю оценку отношения (4.9) [9, 10].
Критерий Бартлетта [9]. С помощью критерия Бартлетта можно определить допустимость рассеяния оценок дисперсий для числа групп измерений L > 3 и числа измерений в каждой группе rij>3. Для проведения указанной проверки вначале вычисляют оценки дисперсий всех групп от S2 до S2L (4.3), а затем среднее значение оценок дисперсии
(4.10)
где N = ]Ги.; Sj — дисперсия j-й группы измерений. Затем на-7=1
ходят значение у} по формуле
2 2,303
(N -L)\gStp-Z(nj -I)IgSj
2?
С
C = I +
1
3(1-1)
(L 1 I —
1
1 N-L
(4.11)
(4.12)
Далее, задаваясь некоторой доверительной вероятностью Р, определяют верхний предел х^ах по распределению X2 (табл. П7) с L - 1 степенями свободы при q (х2 > Х2д) = 1 - P- Если выполняется неравенство Х2<Х2пах> т0 различия между оценками дисперсий групп допустимы. Если во всех группах число измерений л, > 30, то C= 1.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение критериев Аббе, Бартлетта и Фишера [9,3].
Пример 4.11. При определении приведенной площади поршня грузопоршневого барометра путем его сличения с эталонным ртутным барометром было произведено N= 50 измерений, представленных L = 10 группами по 5 измерений в каждой. Полученные данные приведены в табл. 1. Требуется установить, присутствует ли в результатах измерений значимая систематическая погрешность, а также найти приведенную площадь и оценку CKO полученного значения.
95
Таблица 1
Номер групп Измеренные значения площади поршня, см2 Xj
1 2 3 4 5 6 1
1 1,001288 ...240 ...294 ...292 ...248 1,001272
2 245 206 201 263 236 230
3 217 211 264 221 267 236
4 230 275 292 238 248 257
5 258 209 256 259 215 239
6 214 253 250 191 211 224
7 225 235 189 233 192 215
8 241 271 270 233 218 247
9 255 296 301 245 249 269
10 286 244 232 246 289 259
Совокупное среднее X 1,001245
Решение. Совокупное среднее значение групп, которое принимается в качестве приведенной площади поршня, вычислим как среднее всех результатов измерений по формуле
^ = Z "у^ = T І = 1,001245,
7=1
где Xj — среднее арифметическое значение в у-й группе; L — число групп; rtj — число измерений в у-й группе.
Чтобы убедиться в том, что это является оценкой истинного значения приведенной площади поршня, проверим статистическую подконтрольность полученных данных.
1. Вначале проверим, являются ли оценки дисперсий групп оценками одной и той же дисперсии. Применим для этого критерий Бартлетта.
Используя результаты вычисления дисперсии, приведенные в столбце 9 табл. 2, по формуле (4.10) определим среднее значение дисперсии, которое при равном числе данных в группе упрощается:
L
SL = YS2/L = 661,7 (см. нижнюю строку столбца 9).
CP Аи* j і
7=1
96
Номер группы sy ю-12 ^S2J (хJ+1-Xj) -КГ* (*/..-*>-"
1 8 9 10 11 12 13 14
1 2740 685 10,8357 +27 729 -42 1761
2 2767 692 8401 -15 225 +6 36
3 2956 739 8986 -9 81 — —
4 2720 680 8325 +12 144 +21 441
5 2526 632 8000 -6 36 -18 324
6 2875 719 8567 -21 441 -15 225
7 2029 507 7050 -30 900 -9 81
8 2178 544 7360 +2 4 +32 1024
9 2925 731 8639 +24 576 +22 484
10 2752 688 8376 +14 196 -10 100
I 26 468 3332 4479
Среднее 661,7 8176
Примечание. В столбце 10 указана мантисса десятичного логарифма при характеристике, равной (-10); / — номер измерения; / — номер группы измерений.
Значение постоянной С определим по формуле (4.12):
По формулам (4.11) и (4.12) вычислим
(TV - L)IgS^ = (50 - 10) • 10,8209 = 32,836 - 400 = -367,164; ю
Длу. - I)Ig4S1J = 10(5 - 1) • 10,8176 = 32,704 - 400 = -367,296;
X2 =у||(32,836- 32,704) «0,28.
При доверительной вероятности P= 0,95, числе степеней свободы к = 10- 1 =9 находим по табл. П7 x2m2LX = 16,9. Поскольку X2 < Хтах' то слеДУет считать, что все оценки дисперсий групп являются оценками одной и той же дисперсии.
2. Проверим однородность ряда средних, т.е. присутствует ли в результатах вычислений систематическая погрешность. Для этого воспользуемся методом Фишера.
В столбцах 11 и 12 табл. 2 приведены отклонения средних арифметических групп от совокупного среднего и квадраты этих отклонений соответственно.
По формуле (4.5) найдем внутригрупповую дисперсию, используя для этого данные столбца 8:
2 26 468-Ю-12 „9.1П-12 4 50- 10 = 662 10 СМ *
По формуле (4.6) найдем межгрупповую дисперсию, используя данные столбца 12:
s2 5О332^в1851.10.12 СМ4
10-1
Отношение дисперсий ^940= 1851/662 = 2,8. Из табл. П10 для уровня значимости q = 0,05 и к{ = 10 - 1 = 9, к2 = 50 - 10 = 40 находим F= 2,12. Так как ^940 = 2,8 > F= 2,12, то расхождение между средними групп велико. Поэтому необходимо продолжить исследование и выяснить, является это расхождение систематическим или случайным. Для этого используем критерий Аббе, который позволяет обнаружить монотонное изменение групповых средних.
98
3. В столбце 13 табл. 2 приведены значения последовательных
разностей средних арифметических групп dj= (Зсу+1 -*,), а в столбце 14 — квадраты этих разностей. Оценку дисперсии по последовательным разностям находим, используя формулу (4.4), данные для которой берем из столбца 14:
