Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Так как S- = SxJJn, то из предыдущего неравенства получим соотношение для максимального числа измерений
Например, если Sx= 0, то птах = 64.
Пример 5.3. Приведем примеры учета пофешностей измерения, когда имеет место случайная пофешность, распределенная по нормальному закону, и неисключенная систематическая пофешность. Покажем также, как при этом осуществляется запись результатов измерения.
1. Обработка результатов измерений, полученных при калибровке образцовой многофанной призмы, дала следующие результаты отклонения одного из углов от номинального значения:
X = 1,98"; S- = 0,05"; 0 (P= 0,95) = 0,03"; п = 20.
111
Так как
X =
О (P) _ 0,03
= 0,6 < 0,8,
Sx 0,05
то результат измерения может быть представлен в виде
X= 1,98"; 5-=0,05"; л = 20 или Q = 1,98"±0,10" при Р=0,95.
Вторая запись означает, что истинное значение измеряемой ФВ с вероятностью 0,95 лежит в доверительном интервале от 1,88" до 2,08". Погрешность А = ±0,10" вычислена следующим образом. При P= 0,95 и « = 20 из табл. П5 находим Z095 = 2,093 и
В результате измерения не учтена (отброшена как незначимая) систематическая погрешность. Оценим, какова погрешность такой операции. Суммарная СКП в предположении, что распределение систематической погрешности равновероятно, будет равна:
= V5I + 5e = yjS^e2{P)/3k2 = V25-10"4 +2,47-10"4 =
где коэффициент к = I9I при доверительной вероятности P= 0,95. Таким образом, отличие составляет 4%.
2. Допустим, что границы неисключенной систематической погрешности составляют 0(P= 0,95) = 0,17". При этом отношение 0 (P)/S- = 0,17/0,05 = 3,4 > 0,8 и результат измерения должен быть записан в виде
Погрешность А = ±0,18", которая является композицией случайной и систематической погрешностей, вычислена следующим образом.
В соответствии с формулами (5.4), (5.6) и (5.7) определим доверительный интервал композиции этих погрешностей:
где S2 = e2(P)/3k29 — коэффициент, соответствующий вероятности P композиции распределений случайных погрешностей и неисключенных остатков систематических погрешностей. Этот коэффициент вычисляют по эмпирической формуле (5.7).
A = Z0 95 S- «0,10".
л/28,47-10"4 « 0,052",
X= 1,98"; G(P= 0,95) = 0,17"; Sx = 0,05"; л = 20 или Q= 1,98"±0,18" при P= 0,95.
112
Определим суммарную СКП:
sz = V5I + = JsI+в2 (P)/Зк2 = 725-10^+79,6-10"4 = = д/Ю4,6 • 10"4 « 0,10",
а затем по формулам (5.7) и (5.4) коэффициент tz и доверительную границу результата измерения, соответствующую вероятности 0,95:
1Pl = 777Ї п: = ттї = 1^808; А = !>808• 0Д0« 0,18'
0,10 + 0,17 = 0,27
0,05 + 0,17/73-1,21 0,15
3. Допустим, что неисключенная погрешность 0(P= 0,95) = 0,5", тогда отношение Q(P)/S- = 0,5/0,05 = 10 > 8. При этом можно пренебречь случайной погрешностью и результат измерения записать в виде
X= 1,98"; 0(P= 0,95) = 0,5"; п = 20.
Оценим доверительный интервал для суммарной погрешности, используя формулу (5.4), а также погрешность пренебрежения случайной составляющей погрешности. Для этого, как и прежде, определим суммарную СКП по формуле (5.4), предварительно вычислив
si = V5I + si = V0'0025 + 0,25/3 • 1,21 = 0,267", 0,10 + 0,50 = 0,60 z 0,05 + 0,262 0,312 ' '
Тогда доверительный интервал будет равен A(P= 0,95) = 1,923 х X 0,2655 = 0,51", что на 2% больше, чем доверительная граница систематической погрешности.
5.1.2. Проверка нормальности результатов измерений
Наиболее полные сведения о результатах измерений можно получить, если известно вероятностное распределение результатов измерений. Возникает вопрос: а почему проверяют именно нормальность распределения результатов и погрешностей измерения? Дело в том, что почти все оценки результатов измерений, многие метрологические формулы, различного рода критерии справедливы, если имеет место нормальное распределение. Оно является фундаментальным распределением природы, и к нему, как уже говорилось, в пределе стремятся многие как симметричные, так и несимметричные непрерывные и дискретные распределения плотности вероятности. Это распределение хорошо изучено и его
из
характеристики определяются двумя параметрами: математическим ожиданием и дисперсией.
Проверку нормальности распределения проводят различными способами. Наиболее распространенным является способ (при л>40), использующий критерий Пирсона. При меньшем числе измерений (50>л> И), как правило, используют составной of-крите-рий. Имеются и другие методы, описанные в [3, 5, 33].
Проверка с использованием критерия Пирсона.
1. Весь диапазон полученных результатов измерений от максимального хтах до минимального значения x1111n разбивают на г интервалов шириной Ах, (/'= 1, 2, 3, г) и подсчитывают частоты mi9 равные числу результатов в /-м интервале
P]^mJn9 (5.8)
где п — общее число измерений. Распределение частоты по интервалам образует статистическое распределение результатов измерений. Рекомендуется число интервалов г выбирать в зависимости от числа измерений [3] по таблице:
№ п/п Число измерений п Количество интервалов г
1 40-100 7-9
2 100-500 8-12
3 500-1000 10-16
