Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
В этом соотношении t{_0 9 = 2,92 найдено по табл. П5 (критерий односторонний). Поскольку X = 97,6 и его значение меньше критического значения 98,4, то нельзя признать имеющуюся партию вещества годной.
Пример 3.22. Производство выпускает керамические изделия, плотность которых из-за нестабильности технологического процесса равномерно распределена от P1 = IO г/см3 до P2= П г/см3. Годными считаются изделия, плотность которых равна или превышает порог разбраковки рп0 = 10,4 г/см3. Таким образом, гипотеза H0 состоит в том, что годные изделия имеют плотность р>рп0, альтернативная гипотеза H1-B том, что плотность изделий р < рп0.
Определить ошибки первого и второго рода, если при разбраковке изделий по плотности на годные и бракованные установлен порог рп0 и погрешность измерения плотности распределена равномерно с плотностью вероятности 1/2A0 = 5 см3/г (A0 = 0,1 г/см3). Систематическая погрешность отсутствует.
Решение. Если бы погрешность измерения была равна нулю, то ошибки первого и второго рода отсутствовали в данной схеме контроля (рис. 3.8). Доли годных и бракованных изделий были бы равны: 5Г = (р2 - рп0)/(р2 - P1) и A6 = (P110-P1)Ap2-P1). Полагая, что плотность вероятности технологического распределения изделий равна />р = l/(p2-pj), запишем вероятности для ошибок первого (признание годных изделий бракованными) и второго (признание бракованных изделий годными) рода
99-2,92-0,2 = 99-0,59 = 98,4.
* = = J Р, I ф= J
(РпО-Р
PnO Vp_A0 0 ) PnO
80
Pa
Pi Pz-A
pi
PnO
Р2
Рис. J.& Появление ошибок первого и второго рода при разбраковке изделий (рп0 — порог разбраковки, ±Aq — пределы погрешности средства измерения, p1 — текущее значение плотности изделия)
Из-за симметричности погрешности и технологического распределения плотности изделий и A0 < (рп0 - P1) ошибки первого и второго рода получились равные. Подстановка численных значений в полученные соотношения дает следующее значение q = ? = 0,025.
Следует заметить, что порог разбраковки (критерий принятия решений, критерий значимости) для уменьшения ошибки второго рода обычно выбирается отличным от P110. Например при рп1 ^p110 +A0 (при сохранении остальных условий примера) ошибка второго рода ? = 0, т.е. при этом пороге разбраковки негодные (бракованные) изделия не будут попадать в годные. Это естественно удовлетворит потребителя продукции. Однако при этом ошибка первого рода, т.е. отнесение годных изделий к бракованным, возрастет до ^ = 0,1, что, в свою очередь, ухудшит экономические показатели производства. Поэтому правильный выбор стратегии контроля (установление компромиссного порога разбраковки, установление двух порогов, использование последовательного анализа «сомнительных» изделий и т.д.) является важной задачей метрологов производства [12, 16].
81
В подобных задачах наиболее кардинальным решением является, как правило, использование СИ, обладающих малой погрешностью, и методик измерений, позволяющих снизить погрешность измерения.
Пример 3.23. Средство измерений, предназначенное для регистрации сигнала амплитудой S0, характеризуется погрешностью, имеющей нормальное распределение и мощность а2 и обусловленной шумом системы. Таким образом в отсутствие сигнала на входе СИ действует нормальный шум, создающий случайную погрешность, плотность вероятности амплитуд которого равна
1
ехр
2о1
При наличии сигнала плотность вероятности амплитуд с учетом наложения на сигнал шума будет равна
Рс+щ(Х) = —JS= ЄХР
¦¦J2n
2о1
Принимается решение о наличии сигнала (гипотеза H0), если измеренное значение х> Xn = S0Zl9 и об отсутствии сигнала (гипотеза H1), если x<S0/2. Определить ошибки первого и второго рода при принятии решения о регистрации сигнала.
Решение. Определим ошибку первого рода, когда на входе СИ имеется сигнал (рис. 3.9)
Su?
»- J
1
ехр
2а1
ах = \-Ф
2о)
(D
Рис. 3.9. Ошибки первого и второго рода при приеме зашумленного сигнала
82
P- J і ехр[-^к = 1-ф[^1
Ла72я ^ 2а2) {2а)
Ошибку второго рода определим как вероятность признания наличия сигнала, в то время как он отсутствует:
( -2
(2)
Как видно из (1) и (2) при выбранном критерии принятия решения ошибки первого и второго рода равны. Например, при а = S0/4 q = ? = 1 - Ф (2) = 1 - 0,97725 « 0,03.
Увеличение уровня принятия решения о наличии сигнала (гипотеза H0) приведет к уменьшению ошибки второго рода ? и увеличению ошибки первого рода q.
3.2. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
Задача 3.1. В условиях нормального распределения погрешности измерения получены следующие оценки результатов измерения: средняя арифметическая длина стержня х = 13,043 мм и ее CKO 5- = 0,028 мм. Число измерений п = 4. Определить вероятность 13,ИЗ > Q> 12,973}
Ответ. Вероятность попадания истинного значения измеренной длины стержня в интервале от 12,973 до 13,113 мм равна 0,9122, или 91,22%.
Задача 3.2. Для условий предыдущей задачи (х = 13,043 мм, 5. = 0,028 мм, число измерений п = 4) определить вероятность того, что истинное значение измеряемой величины может быть больше 13,086.
