Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
хгх 0,134 -0,146 -0,036 0,194 -0,076 -0,016 -0,056
Определить: 1) оценку действительного значения ФВ; 2) оценку CKO результата измерения; 3) записать результат измерения; 4) с уровнем значимости q = 0,1 оценить истинное значение СКО.
Решение. 1. Оценку действительного значения ФВ определим по формуле (3.3):
х = -2>/-
Подставив измеренные значения в эту формулу, получим
X - у(5,65 + 5,37 + 5,48 + 5,71 + 5,44 + 5,50 + 5,46) = Щ^- = 5,516.
2. Для определения оценки CKO результата измерений воспользуемся формулой (3.5):
1 A, _v2
S~x=in{n-\)U
Используя промежуточные вычисления, приведенные в таблице, получаем
S- = 7Т5 (179,56 + 213,16 +'12,96 + 376,36 + 57,76 + 2,56 + 31,36) •10"4 =
_ ГІЩ7 "V 42
72 КГ4 =4,56-10"2 = 0,0456.
3 Ос-
новы метрологи»
65
3. Полагая, что результаты измерения подчиняются нормальному закону распределения, запишем вероятность того, что истинное значение лежит в интервале x±S-, т.е. при tp=l. По табл. П5 при числе степеней свободы к = п-\=6 и tp=l находим P= 0,65. После округления результата измерения до трех значащих цифр результат измерения ?=5,52±0,05 при P= 0,65.
4. Получим интервальные оценки для истинного значения CKO результатов измерения. Для этого по табл. П7 при числе степеней свободы к = п - 1 = 6, qx = 0,5# = 0,05 и q2 = 1 - 0,5# = 0,95 находим значения Хбоо5= ^25; X60 95= ^,592. Ф°РмУле (3.19) найдем границы интервалов, предварительно определив Sx = S-Jn = = 0,045677=0,12:
s sJEEL.W*.ад».
Хб;0,05 л/^635 1,278
, SJEEL, °й?=.0,08348.
2 Х6; о,95 у[Ю92 3,52
Таким образом, истинное значение CKO с вероятностью P= 0,9 находится в интервале от 0,08 до 0,23.
Пример 3.2. Радиоприемные устройства (РПУ), выпускаемые серийно на заводе, характеризуются порогом чувствительности хп в некотором диапазоне принимаемых частот. Дисперсия результатов измерений, распределенных по нормальному закону, большой партии РПУ известна и составляет 100 мкВ2 (CKO а = 10 мкВ). Измерение порога чувствительности хп одного из образцов РПУ из серийной партии изделий дало результат хп = 100 мкВ. Определить доверительный интервал, в котором находится действительное значение порога чувствительности с вероятностью 0,9, полагая, что систематическая погрешность отсутствует.
Решение. Поскольку распределение значений порога чувствительности РПУ нормально и дисперсия этого распределения известна, то определим симметричный доверительный интервал по формуле (3.7), используя данные табл. ПЗ или П4:
if?-0,95.
По табл. П4 находим tp= 1,6449 при Ф(/р) = 0,95. Таким образом, доверительная граница tpc = 1,6449 • 10 » 16,45 мкВ и искомый доверительный интервал будет равен 100- 16,45 ^ Qn < 100+ 16,45.
66
Тогда с учетом округления можно записать P (83,5 мкВ< Qn < < 116,5 мкВ) = 0,9, где Qn — действительное значение порога чувствительности.
Пример 3.3. В условиях предыдущего примера для уточнения действительного значения порога Qn отобрали партию из 9 РПУ. Среднее арифметическое значение порога чувствительности, определенное по результатам измерения порога этой партии, оказалось равным Xn= 100 мкВ. Определить доверительный интервал, в котором находится действительное значение порога чувствительности с вероятностью 0,9.
Решение. Поскольку число измерений л = 9, то CKO среднего хп будет в Jn меньше, т.е. с- = а/л/л = 10/3 = 3,33 мкВ. В соответствии с (3.8) найдем доверительную границу случайного отклонения результатов измерения среднего хп: tpo- = 1,6449 • 3,33 = = 5,483 мкВ« 5,5 мкВ. Таким образом, доверительный интервал для действительного значения Qn можно записать в виде
P (94,5 мкВ < Qn < 105,5 мкВ) = 0,9.
При той же доверительной вероятности, что и в предыдущем примере, доверительный интервал стал уже и позволяет с большей точностью оценить действительное значение порога чувствительности.
Пример 3.4. В условиях примера 3.2 установлено, что номинальное значение порога чувствительности хп0 = 95 мкВ. Полагая, что номинальное значение в отсутствие систематической погрешности является действительным значением порога для данного типа РПУ, определить вероятность того, что пороги чувствительности конкретных РПУ будут находиться в доверительном интервале от 85 до 105 мкВ, т.е. в интервале с доверительными границами 10 мкВ.
Решение. Поскольку CKO результатов измерений известно и равно ап= 10 мкВ, то tp = ±l. Используя соотношение (3.6) или (3.7), а также данные табл. ПЗ, вычисляем
P (85 < хп < 105) = 2Ф(1) - 1 = 2 • 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826 * 0,68 либо
P(SS < хп< 105) = Ф(1) - Ф(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 « 0,68.
Пример 3.5. Результат измерения тока, полученный с помощью амперметра, содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону. CKO тока а7=4 мА; систематическая
67
погрешность A5 = 0. Определить вероятность того, что погрешность превысит по абсолютному значению 12 мА.
Решение. Поскольку систематическая погрешность по условию задачи равна нулю, нормальное (дифференциальное) распределение погрешности симметрично относительно начала координат. Для определения искомой вероятности необходимо вычислить площади «хвостов» нормального распределения при |г|>Д/а7 = = 12 мА/4 мА = 3 (рис. 3.3). Для этого воспользуемся интегральной функцией нормированного нормального распределения (табл. ПЗ). Поскольку функция дифференциального распределения симметрична относительно оси ординат, то искомая вероятность будет равна площади P= 2Ф(-3) = 2 • 0,00135 = 0,0027.
