Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пронкин Н.С. -> "Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям" -> 21

Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.

Пронкин Н.С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям — M.: Логос, 2007. — 392 c.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка): osnovimetrolog2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 125 >> Следующая

• Полагая, что результаты измерения не содержат систематической погрешности, вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ при получении единичного результата
61
измерения х в интервале от x1 =х- tpo до X2 = х + /рст при заранее известном CKO а будет равна (см. (2.2) и (2.14) при Iz1I = Iz2I = tp)
P (x - /ра < Q< X + tpo) = Ф (Zp) - Ф (-Zp) = 2Ф (/р) - 1. (3.6)
Для абсолютной погрешности S = Ix-ZwxI = Ix-Ol вероятность попадания погрешности единичного результата измерения в интервал ±tpG будет равна
Р(|б|</рс) = 2Ф(/р)-1. (3.7)
• Если проведено п измерений, CKO заранее известно, то вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале от x1 до x2 будет равна (табл. ПЗ и П4)
р{X - tp -2= < Q < X + tp = 2ФIt Л - 1, (3.8)
где Л>=|х - тх|/cjx-. Видно, что доверительный интервал сузился в 4п раз при той же вероятности, что и в предыдущем примере.
Аналогично (3.7) записывается вероятность P нахождения погрешности измерения среднего 5 = |х- Q\ в заданном интервале
/>^(5|</р^ = 2Ф(ґр)-1. (3.9)
Половина доверительного интервала называется доверительной границей, и результат измерения представляется в виде
Q^x±tp<5- при />=...%. (3.10)
• Если произведено небольшое (ограниченное) число измерений, а сами измерения (предположительно) распределены нормально, то вероятность нахождения действительного значения измеряемой ФВ в доверительном интервале (при неизвестном CKO) будет определяться распределением Стьюдента (рис. 3.1)
'/>
Р[(х - ^S1) < Q < (х + IpSx)) = 2/ 5(/, к) А, (3.11)
о
где 5- определяется по формуле (3.5); S(t, к) — дифференциальная функция распределения Стьюдента, зависящая от параметра tp = (х -Q)/S^ и числа степеней свободы к = п- 1 (см. табл. П5 и П6). Для погрешности измерения можно написать следующее соотношение:
'/>
X - ?| < tpS-) - Р{\51 < tpS,} = 2 ]s{t, k)dt. (3.12)
о
62
-1--Z===—>
5
Рис. 3.1. Нормальное распределение и распределение Стьюдента
Результат измерения записывается в виде Q = x±tpS- при />=.„%.
(3.13)
Практически при п > 20 распределение Стьюдента переходит в нормальное и для оценки попадания результатов измерения можно использовать функции (2.10)-(2.15) и табл. ПЗ и П4.
Зная дисперсию или СКО, можно с помощью неравенства Че-бышева оценить вероятность непревышения погрешности 5 заданного значения є > 5. При этом нет необходимости знать вид распределения погрешности. Неравенство Чебышева можно записать двояко [3, 7]:
где |5| = |x-wJ — погрешность однократного измерения. Первое соотношение (3.14) определяет вероятность непревышения случайной погрешности некоего наперед заданного значения є, а второе — вероятность превышения погрешности є.
Так же как и математическое ожидание, оценка дисперсии определяется с какой-то доверительной вероятностью в области истинного значения дисперсии. Если известно (или предполагается довольно точно), что результаты измерения распределены по нормальному закону, то плотность вероятности величины
3.1.3. Оценки с помощью неравенства Чебышева
Р{|5|<є}^ 1 -(а/є)2 или Р{|5|>є}<(о/є)2
(3.14)
3.1.4. Интервальные оценки дисперсии
(3.15)
распределяется по закону Пирсона с к = п - 1 степенями свободы (рис. 3.2).
8 10 12 14 х2 о
а б
Рис. 3.2. Дифференциальное (а) и интегральное (б) распределения Пирсона
Интегральная функция распределения Пирсона определяется как вероятность того, что все значения дроби (3.15) будут меньше
2
или равны некоторому заданному значению ХкР :
РШ =р
("-0?' .2 2 * *-к,P
*1,Р
= / р(г\)ах\ = \р{\Щ. (3.16)
Значения этой вероятности табулированы (табл. П7), и дифференциальная функция распределения зависит только от к. С помощью этой таблицы определяют доверительные границы попадания результатов оценки дисперсии с заданной вероятностью.
Вначале, задаваясь некой малой вероятностью с ^-уровнем значимости, определяют вероятность того, что отношение (3.15) не вышло за пределы 0,5# как малых, так и больших значений ? (рис. 3.2, б):
*(х?ад) = *(х2,1-о*) = 1 - °>5*- (3.17)
Затем определяют доверительный интервал для CKO в виде
SYJrTl _ SrJiTl'
>о>
= \-q.
(3.18)
X*, 0,5? 1k,\-0t5q
Неравенство в квадратных скобках означает, что истинное значение CKO результатов измерений а с вероятностью P=I -q лежит между значениями Sx и S2, которые соответственно равны
SrJrTl „ S^JrTl
%к, 0,5q
-; S2-
(3.19)
64
При к > 30 для определения границ доверительных интервалов можно использовать приближенные формулы для вычисления X [3]
Х*,оЛ = V*-0,5 - t05q/y[2, Хікі1.0А = - 0,5 + /,.oa/VI, (3.20)
где определяется из условия Ф(/Р) = P по таблицам нормального распределения (табл. ПЗ и П4). Иногда проводят одностороннюю оценку доверительной вероятности дисперсии — только сверху. При этом определяют границу х2к_\ Р> которую CKO не превысит с заданной вероятностью Р.
Пример 3.1. Проведено п = 7 измерений постоянной физической величины хп, результаты которых представлены в таблице:
Измерение *1 *2 *з *4 *5 *б *7
Результат измерения 5,65 5,37 5,48 5,71 5,44 5,50 5,46
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed