Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
S]= ^Jl- IQ"12 = 249- !О"12
CM
Обычную несмещенную оценку дисперсии средних арифметических вычисляем по формуле (столбец 12)
^=7ТгІ(*у-Ч2=ШЛ-іо-,2 = 37о-іо-«
CM
Отношение дисперсий будет равно v = 249/370 = 0,67.
Из табл. П8 для уровня значимости q = 0,05 при п = 10 находим минимально допустимое значение v^ = 0,531. Поскольку 0,531 <0,67, то согласно критерию Аббе рассеивание следует считать случайным, но не систематическим.
4. Найдем дисперсию совокупного среднего. Поскольку это дисперсия нескольких групп измерений, то она вычисляется по формуле
1
Sl = х N(N-I)
ti(xji-xjf + tnj(x;-x)
7=1 /=1
7=1
1
50-49
(26 468 • 10"12 + 5 • 3332 • 10"12) » 17,6 • 10"12,
где численные значения для первого слагаемого взяты из столбца 8, а второго — из столбца 12.
CKO совокупного среднего равно S= = 4,2 • Ю-6 см.
Пример 4.12. В таблице приведены погрешности трех групп измерений эталона метра. Каждая группа из пяти измерений объединяет результаты, полученные за короткое время.
Результаты обработки j-u группы измерений
1-я 2-я 3-я
Среднее по группам, xjt мкм -1,462 -1,458 -1,460
Дисперсии внутри групп измерений, S2J- Ю-6, мкм2 320 720 3800
4*
99
Оценить расхождение между средними значениями погрешностей групп измерений длины или установить, есть ли в погрешностях измерений систематическое смещение.
Решение. 1. Найдем попарные отношения дисперсий, используя для оценки рассеянности дисперсий в различных группах между собой /'-распределение (метод Фишера) с кх = к2 = к3 = 4 степенями свободы:
F1 =Д = 11,875; /? =^-= 2,25; F3 = = 5,278. (1)
1 1 2
При уровне значимости ? = 0,05 (P= 0,95) из табл. П10 находим F005 = 6,39. Поскольку > F005, F2 < F0 05, F3 < F0 05, то при 5%-ном уровне значимости можно сделать вывод о равенстве дисперсий в 1-й и 2-й и во 2-й и 3-й группах измерений, различие же дисперсий в 1-й и 3-й группах следует признать значимым.
Поскольку не для всех групп дисперсий получены положительные выводы о их равенстве, то значимость различий между средними групп необходимо определить для всех разностей средних групп.
2. Попарные значения (4.8) будут равны
t 1,462 - 1,458 5-5(5 + 5-2)
t{~2 10"3 • V4-320 +4-720 V 5 + 5 0,04
10"3 -2-30,659
•4,472 = 0,278,
1,462-1,460 .4>472 = 0)07) (2)
13 10"3 -V320 + 3800
1,460- 1,458 Ч472 = 0)067 2-3 10"3 • V720 + 3800
При уровне значимости ? = 0,05 (P= 0,95) по табл. П5 для к= пх л-п2- 2 = 5 + 5- 2 = 8 находим, что t095 = 2,30. Поскольку все значения (2) меньше, чем Z095 = 2,30, расхождения средних, несмотря на то, что дисперсии 1-й и 3-й групп измерений значимы, являются незначимыми. Существенное различие дисперсий в 1-й и 3-й группах измерений, по-видимому, связано с влиянием каких-то внешних факторов, поскольку оценка расхождения средних с хорошим запасом говорит о их воспроизводимости.
100
Пример 4.13. Имеются результаты L = 4 групп измерений:
X1 = 3,392; J1 = 0,023; п{ = 5, Jc2 = 3,364; S2 = 0,032; п2 = 10, Jc3 = 3,355; S3 = 0,025; л3 =8, х4 = 3,345; S4 = 0,043; л4 =5.
Поверить гипотезу о равенстве математических ожиданий четырех групп измерений при уровне значимости q = 0,05.
Решение. 1. Вначале проверим, равнорассеянны ли результаты измерений в представленных четырех группах измерений, т.е. проверим гипотезу о равенстве дисперсий. Вычислим отношение F=S2ZS2 для наиболее отличающихся между собой дисперсий. Это отношение равно 3,49. Задаваясь уровнем значимости q = 0,05, определяем по табл. П10 при степенях свободы к{ = к2 = 4 значение критерия Фишера F= 6,39.
Поскольку F< F9 то с вероятностью 0,95 (или уровнем значимости 0,05) можно считать, что дисперсии в представленных группах измерений одинаковы.
2. Для определения того, что измеренные средние не содержат систематической погрешности, вычислим отношение F=S2Mr/S2Br в соответствии с формулами (4.5) и (4.6). Для этого вначале определим общее среднее, а затем внутригрупповую и межгрупповую дисперсии:
.Ii. і
(3,392 + 3,364 + 3,355 + 3,345) =
13,456 4
= 3,364;
у[5(0,028)2 + 10 • 0 + 8(-0,009)2 + 5(-0,019)2] = ^[3920 + 0 + 648 + 1805] • 10"6 = 2,124 • 10"3.
101
Определим отношение дисперсий
^=5мХг = 2'124/0,963 = 2,21.
По табл. П10 при уровне значимости ? = 0,05, степенях свободы Ar1 = Z/ — 1 = 3, к2 = N- Z, = 28 - 4 = 24 определим значение критерия Фишера F =3,01, что больше F= 2,21. Следовательно, со значимостью 0,05 можно считать, что результаты измерений не искажены присутствием систематической погрешности.
Пример 4.14. Для проверки первичного преобразователя радиоизотопного прибора на временную стабильность (присутствия в результатах измерения систематической погрешности) было проведено четыре группы измерений в течение 10 с для каждого измерения. Результаты каждого измерения скорости счета от фиксированного источника ионизирующего излучения, приведенные к времени, равному 1 с, даны в таблице:
Время измерения, ч (номер группы J) 9.00 (D 12.00 (2) 15.00 (3) 18.00 (4)
Среднее по группам Nj, с-1 1002 1004 1010 1012
N = 1007
Дисперсия S1Jy с-2 100 100 100 100
