Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пронкин Н.С. -> "Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям" -> 26

Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.

Пронкин Н.С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям — M.: Логос, 2007. — 392 c.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка): osnovimetrolog2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 125 >> Следующая

Пример 3.19. Рассмотрим проверку гипотезы относительно среднего. Предположим, что математическое ожидание напряжения в электрической цепи составляет Tn1J= 6,8 В. В результате п = 9 измерений напряжения в этой же цепи получено среднее значение U = 6,5 В при дисперсии = 0,25 В2.
Проверим гипотезу H0, состоящую в том, что математическое ожидание случайной переменной U9 имеющей нормальное распределение, по-прежнему равно 6,8 В. При этом альтернативная гипотеза H1 состоит в том, что тиф6,8 В.
Решение. Выберем уровень значимости принятия гипотезы H0, равный ^ = 0,1. Тогда для двустороннего симметричного критерия
гипотеза H0 {Tn1J= 6,8 В) принимается, если ^U - < t{_05qS-.
В противном случае гипотеза H0 отвергается и принимается H1.
77
Вычисляя S- = Sx/Jn = 0,50/3 = 0,167, при числе степеней свободы к = п- 1=8 по табл. П5 находим 'і_05<7=1>86 и tx_Q5 S- = = 1,86 • 0,167 = 0,31. Сравнение тх и U показывает, что 16,50 - 6,801 = = 0,30 < 0,31.
Следовательно, гипотеза H0 принимается с уровнем значимости 9 = 0,1 (ошибка первого рода). Область принятия гипотезы находится между напряжением 6,19 и 7,81 В. Область непринятия гипотезы H0 соответствует напряжениям более 7,81 Ви менее 6,19 В.
Ошибку второго рода в задачах подобного типа (гипотеза относительно среднего) определяют с помощью оперативной характеристики, представляющей собой зависимость ошибки второго рода от разницы (расстояния) между математическим ожиданием, соответствующим гипотезе H0, и математическими ожиданиями альтернативных гипотез. Как правило, это сеть кривых, каждая из которых соответствует определенному числу измерений (выборке) при заданной ошибке первого рода [12].
Продолжим анализ влияния уровня значимости (ошибки первого рода) и числа измерений на принятие гипотезы о среднем.
1. Для проверки гипотезы H0 выберем теперь уровень значимости 9 = 0,05. Тогда при прежних исходных данных получим ^1-о 5^^зс = ^o 975= 2,306 • 0,167 = 0,39 > 0,30. Таким образом, при уровне значимости 0,05 (или доверительной вероятности P= 0,95) гипотеза H0 также принимается (рис. 3.7). Если и далее увеличить доверительную вероятность (уменьшить уровень значимости), то гипотеза H0 будет принята с еще большей «уверенностью». Так, с доверительной вероятностью P* 1 почти любая исходная гипотеза о величине шу будет принята, но практически на всей оси абсцисс. Значимость принятия гипотезы H0 при этом будет ничтожно мала.
6,41 *=6,50 /и-= 6,80 7,19
рис. 3.7. Области принятия и непринятия гипотезы (заштрихованы) H0 о математическом ожидании
78
2. Для проверки гипотезы H0 выберем теперь уровень значимости q = 0,2. Тогда при прежних исходных данных получим, что 'і_05^5- = /0 9.У- = 1,383 • 0,167 = 0,23 < 0,30. Таким образом, при уровне значимости 0,2 (или доверительной вероятности P= 0,8) гипотеза H0 не принимается, поскольку предполагаемое значение Шу выходит за доверительные границы.
3. Увеличим число измерений до « = 41 при сохранении дисперсии результатов измерений 0,25 В2. Поскольку количество измерений стало больше, то экспериментальной оценке U = 6,5 В можно доверять больше, и, скорее всего, наша гипотеза о ти= 6,8 В окажется более сомнительной. Действительно, поскольку при /7 = 41 S- = Sx/yfn = 0,50/6,4 = 0,078, то даже при уровне значимости 9 = 0,05 получим ^5^- = ^5- = 2,021 -0,078 = 0,16 < 0,30. Таким образом, гипотеза H0 (о равенстве математического ожидания 6,8 В) оказывается уже неприемлемой.
Пример 3.20. Пусть некое вещество загрязнено вредной примесью. Необходимо найти возможный верхний предел содержания вредной примеси в веществе по следующим результатам анализов содержания примеси в 100 кг вещества (%): хг. = 0,18; 0,12; 0,14; 0,15 при доверительной вероятности P= 0,95.
Решение. По формулам (3.3) и (3.4) определим среднее содержание примеси X =0,147 и CKO результата измерений 5^ = 0,025. Поскольку число измерений равно четырем, то в соответствии с (3.5) 5_ = 0,125.
По числу степеней свободы к = п- 1=3, уровню значимости для одностороннего критерия q = 1 -P= 0,05, определим по табл. П5 Z0 90 = 2,353. Тогда возможный верхний предел содержания примеси в веществе с вероятностью 0,95 будет равен
тх < 0,147 + 2,353 • 0,0125 = 0,176 » 0,18.
С точки зрения принятия статистических гипотез, этот результат можно трактовать следующим образом: при гипотезе H0 о среднем содержании примеси, равном 0,15%, и уровне значимости этой гипотезы 4 = 0,05 допустимо наличие примеси в веществе до 0,18%.
Пример 3. 21. Вещество считается «чистым», если в нем содержится не менее 99% основного вещества (OB). Требуется проверить гипотезу статистической значимости различия между паспортными данными и следующих результатов трех определений содержания OB в партии вещества (%): 98,0; 97,3; 97,5. Кроме того, следует отметить, что со временем OB подвержено разложению и его содержание со временем уменьшается, например при хранении на
79
складе или при длительном его перемещении к месту использования от изготовителя к потребителю.
Решение. Используя (3.3)-(3.5), получим среднее значение и CKO для трех измерений OB: х = 97,6 и Sx = 0,32, а также S- = 0,20. В качестве нулевой рассмотрим гипотезу H0: математическое ожидание OB в веществе ^ = 0,99. При этом исследуемое вещество считается доброкачественным. Альтернативная гипотеза тх ф 0,99. Гипотезу H0 рассмотрим при уровне значимости ? = 0,05. Учитывая, что концентрация OB со временем может только уменьшаться, то оценку полученного в результате измерения среднего содержания OB в веществе проведем с помощью одностороннего критерия
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed