Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
71
Решение. Вначале проверим симметричность доверительного интервала
if - X1 = 24,022 - 24,014 = tpx a^ = 0,008; X2-X= 24,038 - 24,022 = Xn а ^ = 0,016.
Поскольку интервал не симметричен (tpx ф то для определения искомой вероятности построим для каждой из доверительных границ симметричные доверительные интервалы и определим 0,5 вероятности попадания Q в эти интервалы. Затем сложим эти половинные вероятности:
P = 0,5[P1(x - /лс- < Q < X + tpxc-) + />2(х - tp2o- <Q< tp2<5-)] = = 0,5[2Ф(/Л) - 1 + 2Ф(/Л) - l] = Ф(/л) + Ф(ір2) - 1 = = Ф(1) + Ф(2) - 1 = 0,8413 + 0,9773 - 1 = 0,8186 « 0,82.
Пример 3.13. Обработка ряда нормально распределенных измерений длины изделия дала следующие результаты:
среднее арифметическое (оценка истинной длины) х = 38,464 мм при числе измерений, равном шести;
среднеквадратическое отклонение (оценка CKO) S- = 0,036 мм.
Определить границу интервала, при которой вероятность нахождения истинного значения длины изделия меньше этой границы была бы равна P= 0,95.
Решение. Поскольку вероятность Р> 0,5, то искомая граница X2 находится правее среднего значения х. Таким образом, искомая граница X2 >х, доверительный интервал находится от -оо до x2.
Для того чтобы воспользоваться данными, приведенными в табл. П5 или П6, необходимо вначале определить вероятность Px попадания истинного значения величины в симметричный интервал |х2 - х I = Ix1 -х I = tpS-. Очевидно, что вероятности P и Px связаны между собой соотношением P=Px{tp\ ?) + 0,5(1 -P1). Из этого соотношения получим P1 = 2P- 1 = 1,9 - 1,0 = 0,9. Из табл. П5 определим при к= 5 P1 = 0,9, tp=2$. Получим искомое значение X2=X + tpS- = 38,464 + 2• 0,036 = 38,536 мм.
Вероятность того, что длина изделия будет менее 38,536 мм, равна 0,95.
Пример 3.14. Оценить вероятность того, что измеренное значение сопротивления R превышает истинное значение более чем на 2 Ом, если CKO а = 0,2 Ом. Закон распределения неизвестен.
72
Решение. Для определения искомой вероятности воспользуемся неравенством Чебышева (3.14), которое дает оценку отклонения от истинного значения при неизвестном распределении
і>{|5|>є}<а2М
где 8 = R- Rq — отклонение истинного значения сопротивления Rq от измеренного значения R, равное 2 Ом. Подставляя все значения в неравенство Чебышева, получаем
P(ISl > 2} < 0,16/4 = 0,04.
Пример 3.15. Непосредственный расчет оценок результатов измерений среднего арифметического и выборочной дисперсии (или CKO) по формулам (3.3)-(3.5) часто бывает весьма громоздким, если экспериментальных данных много. Можно существенно упростить расчеты с помощью линейного преобразования результатов измерения в виде
х. - с
X1 = c + hu; U1 = -^—, ' = 1,2,3,...,/1. (j)
За начало отсчета с выбирается некоторое значение между наибольшим и наименьшим значениями x1-, а единица масштаба h — так, чтобы значения X1 выражались целыми числами. Произведя замену в (3.3) и (3.4), получим следующие расчетные формулы:
. Й-^ІЛ. (2)
Рассмотрим пример. Значения ФВ, полученные в результате л = 20 измерений, а также результаты обработки этих измерений при с = 4,780 и А = 0,001 приведены в таблице:
Nq п/п */ иі «? N9 п/п */ Щ «?
1 4,764 -16 256 11 4,778 -2 4
2 4,764 -16 256 12 4,779 -1 1
3 4,767 -13 . 169 13 4,781 1 1
4 4,769 -11 121 14 4,782 2 4
5 4,771 -9 81 15 4,789 9 81
6 4,772 -8 64 16 4,789 9 81
7 4,772 -8 64 17 4,791 11 121
8 4,774 -6 36 18 4,791 11 121
9 4,775 -5 25 19 4,792 12 144
10 4,776 -4 16 20 4,795 15 225
-29 1871
х = с + hu, SY = h\--
х V п -1
-ч2
ШН(«)
/=1
73
Необходимо, используя приведенные данные измерений, определить доверительный интервал для действительного значения ФВ с вероятностью 0,99.
Решение. Применяя формулы (1) и (2), получаем
(7=^ = -1,45; Зс = 4,780~0,00145=4,77855; п(и)2 = 20•(1,45)2 = 42,0;
Sx = а(Ю1 JMEl = 0,00981; Sx = і = ^SH = 0,00219. х V 19 х V20
Для нормально распределенных результатов средних значений по табл. П5 при числе степеней свободы к = 19 и доверительной вероятности P= 0,99 получим Z7,= 2,861.
Доверительные границы будут иметь значения:
Зс - fpjj = 4,77855 - 2,861 • 0,00219 = 4,77855 - 0,00626 = 4,77229,
X + tpS- = 4,77855 + 2,861 • 0,00219 = 4,77855 + 0,00626 = 4,78481.
Таким образом, действительное значение ФВ с вероятностью P= 0,99 находится в доверительном интервале 4,77 < Q < 4,78.
Пример 3.16. По результатам « = 20 измерений получили следующие результаты измерения длины стержня / = 18,9078 мм, Sx = 0,0025 мм. Определить доверительные интервалы для дисперсии случайной погрешности при доверительной вероятности />=1 -? = 0,9.
Решение: Из табл. П7 (см. (3.15)-(3.17)) для 0,5^ = 0,05 и 1-0,5^ = 0,95 и ?=19 находим: Х^9;о,05= Ю,И7; Xi9;o,95 = 30,144
И СООТВеТСТВеННО Xi =Xl9;0,05 = 3>18' X2 = Xj9; 0,095 = 5>49- ИСПОЛЬЗУЯ
соотношение (3.19), получаем
0,0025 УЇ9 ^мх-хл 0,0025 УЇ9 плпол
CJ1 = — = 0,0034 мм, G2 = 549*— = 0,0020 мм. (1)
Таким образом, истинное значение CKO лежит в интервале от 0,0020 до 0,0034 мм с вероятностью 90%. Если, например, число измерений увеличено до п = 42, можно воспользоваться формулами (3.20) для приближенного вычисления доверительных границ СКО. Из табл. П4 находим
