Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
91
центра распределения результатов измерения. В нем используется тот факт, что дисперсию результатов измерений можно оценить двумя способами: обычным (3.4)
Sl=-^i(X1-Xf (4.3)
и с помощью вычисления суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (xi+l -X1)2
5'-щЬіІіх'"-х')2- <44)
Если в процессе измерений систематическая погрешность смещала среднее арифметическое, то будет иметь место неравенство S2 > S]. Отношение V = S^/Sl является критерием для обнаружения систематических смещений среднего арифметического результатов измерений. Критическая область этого критерия определяется как P(v < vq) = q, где q — уровень значимости, q=\- Р\ P — доверительная вероятность. Считают, что среднее арифметическое имеет смещение, если V < V^. Значения vq в зависимости от уровня значимости q (^ = 0,001; 0,01; 0,05) и числа измерений приведены в табл. П8.
Метод Аббе можно применять и для обнаружения монотонных смещений между результатами измерений в разных группах.
Метод Фишера. Этот метод (дисперсионный метод) более чувствителен к изменению средних, и его целесообразно использовать, когда многократные измерения проводятся в течение длительного времени, а сами измерения равноточные. Сущность метода состоит в следующем.
После проведения N измерений их разбивают на L групп по лу результатам измерений в каждой группе (L >3), но так, чтобы
L
выполнялось равенство N = Затем анализируют изменение
У=1
дисперсий в каждой из групп измерений по сравнению со средним рассеиванием измерений внутри каждой из групп.
Находят оценку внутригрупповой дисперсии (среднее рассеивание внутри групп)
Jr к.S2
si=^rLi--W-(4-5)
92
1 nj
где Xj =—YiXy — сРеДнее результатов измерений ву-й группе; X1J — результат /-го измерения в у-й группе; — рассеяние (дис-
L
Персия) внутри каждой у-й группы; =N -L. Заметим, что
7=1
формула (4.5) представлена в трех равноценных вариантах, поскольку это облегчает ее использование в последующих примерах.
Если результаты измерений содержат систематическую погрешность, то это прежде всего сказывается на изменении среднего арифметического Xj каких-либо групп измерений. На дисперсии результатов измерений это должно сказаться слабо, если, конечно, измерения отдельных групп не слишком продолжительны. Следовательно, результат (4.5) целесообразно сравнить с межгрупповой дисперсией
Sl^Y-zinpj-xf, (4.6)
L> 1 j=\
= 11- \ L \ Hj I^ где X= —]jTje. = — Y — Yxi = —Yxi ~ сРеДнее результатов L j=\ J L j={ Hj /=1 lJ N M '
измерений.
Дисперсия (4.6) отражает влияние систематического различия между группами измерений.
Критерием оценки наличия систематических погрешностей является дисперсионный критерий Фишера
F=Sl/Slr. (4.7)
Значения F для различных уровней значимости q, числа измерений и числа групп L приведены в табл. П10 при степенях свободы кх = L - 1, к2 = N- L. Если полученное значение критерия Фишера F больше F (при заданных q, N, L), то гипотеза об отсутствии систематических смещений результатов измерений по группам отвергается, т.е. считается, что смещение среднего обусловлено систематической погрешностью. В табл. П10 приведены значения Fg=l_p, соответствующие интегральной функции /'-распределения от 0 до Fq.
При числе групп менее трех используют другие методы оценки равенства математических ожиданий в группах [3, 9, 10].
93
Метод Стьюдента. Если необходимо установить наличие смещения в средних для двух групп (серий) измерений (при этом метод Фишера не применим) и число данных в каждой из групп невелико (менее 30), то для проверки гипотезы о равенстве средних вычисляется величина
fa V ".+?
Далее, задаваясь определенным уровнем значимости q или доверительной вероятностью P= 1 -q, по табл. П5 и П6 при числе степеней свободы к = п{ + п2-2 находят соответствующее значение tp, и если tx_2 < tp, то гипотеза о равенстве средних (математических ожиданий) принимается. Этой оценкой можно пользоваться и для большего числа групп, попарно проверяя их однородность [3].
4.1.3. Проверка равнорассеянности групп измерений
Все рассмотренные выше критерии применимы, если априори выполняются два условия: распределение результатов измерений нормально и результаты измерений в группах равнорассеянны, т.е. дисперсии (или CKO) групп измерений можно считать одинаковыми. Для проверки допустимости различия между оценками дисперсий групп измерений используется критерий Фишера (^-распределение) и критерий Бартлетта.
Критерий Фишера. Поскольку с помощью критерия Фишера можно сравнить только дисперсии двух групп измерений, то, как правило, дисперсии всех групп измерений располагают в вариационный ряд в порядке их возрастания. Затем сравнивают первую и последнюю дисперсию в этом ряду, т.е. наименьшую S2 и наибольшую дисперсии S2L. Различие оценок дисперсий считается допустимым, если выполняется условие
(4.9)
Число степеней свободы для S1 равно kL = nL-\, для Sx оно равно кх = пх - 1. Причем nL и пх — число измерений в группе с наибольшей и наименьшей дисперсией соответственно. Верхние предельные значения Fq в зависимости от числа степеней свободы kL и кх определяются для заданной (выбранной) вероятности P или уровня значимости q=\-P. Уровень значимости q находят
