Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4.8. Получить выражение для определения доверительных границ при большом числе т суммируемых систематических погрешностей, распределенных равномерно и имеющих границы ±Qr
Решение. Полагая, что погрешности являются независимыми квазислучайными величинами, суммарная дисперсия и CKO при сложении т равномерно распределенных погрешностей с границами ±0;. будут равны
Доверительный интервал суммарной погрешности при большом числе слагаемых, когда результирующее распределение можно считать нормальным в силу центральной предельной теоремы теории вероятности, можно определить по формуле (4.1):
4P) = We = 1^Jp"= ±kjpi>
где Q(P) — доверительный интервал для суммы неисключенных систематических погрешностей при доверительной вероятности P или уровне значимости q= 1 -Р; \ t0 5д\ = \ tx_0 5J — соответствующие доверительной вероятности P квантили, которые определяются по таблицам нормального распределения, например табл. П4. Найдем коэффициент к09, соответствующий доверительной вероятности P= 0,9. Из табл. П4 квантили, соответствующие этой доверительной вероятности, If0 05I = If0 95I= 1,6449. При этом к09 =f0^/V3 =
89
= 1,6449-0,578 = 0,95. Дальнейшие расчеты позволяют получить *o,98(l Voi I = I ^0,991= 2.3267) = 1,35, а также к095 = 1,13 и A^99 = 1,49.
Эти результаты целесообразно сравнить с результатами, приведенными в табл. П15, полученными суммированием четырех одинаковых распределений, а также с коэффициентами, рекомендованными в [2] для использования в формуле (4.1):
Источники сравнения значений коэффициента к Значения коэффициента к для различной доверительной вероятности P
0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
Аппроксимация суммарного распределения — нормальным (пример 4.8) 0,95 1,13 1,35 1,49 1,90
По табл. П15 при числе суммируемых распределений т = 4 0,946 1,120 1,301 1,410 2,000 при P= 1
Рекомендации РМГ-99 [2], а также [9,И] 0,95 1,10 1,40
Из таблицы видно, что наибольшее расхождение в коэффициенте к между данными первой и второй строки 6,4% наблюдается при доверительной вероятности P= 0,99. По данным табл. П15 расхождение увеличивается при т < 4. Суммарная граница при вероятности P= 1 (/= 1) и т от 2 до 4, как видно из табл. П15, также хорошо определяются по формуле (4.1).
Рассмотренные примеры показывают, что при определении доверительных границ суммы (композиции) неисключенных систематических погрешностей 0(Р), распределение которых принимается равномерным, целесообразно применять формулу (4.1), используя для определения поправочного коэффициента к табл. П15 и график к = к (/, т).
Пример 4.9. Погрешность измерения 5 распределена по равномерному закону от а = -2 мВ до Ъ = 4 мВ. Определить систематическую погрешность, СКП результатов измерения, а также вероятность того, что погрешность отрицательна. Записать исправленное распределение погрешности.
Решение. Используя результаты примера 2.1 при а = -2 мВ и Ь = А мВ, получаем
/>0 = (1/6) мВ"1; M[S] = ImB; Z)[5] = 3mB2; а [5] = 1,73 мВ.
Из приведенных расчетов видно, что систематическая погрешность равна As = M [х] = 1 мВ. Вероятность того, что погрешность находится в диапазоне от -2 до 0 мВ, равна
90
Р(-2<8<0) = }р0й = І8° =1
-2 0 -2 J
Исправленное распределение погрешности
[О, 5 < -3, 5 > 3.
Пример 4.10. Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону с CKO а = 100 мВт. Показания содержат систематическую погрешность A8 = 50 мВт. Определить вероятность того, что неисправленный результат измерения превысит истинное значение мощности.
Решение. Максимум распределения погрешности измерения из-за наличия систематической погрешности смещен вправо по оси абсцисс на 50 мВ. Искомая вероятность будет соответствовать площади под кривой распределения, расположенной правее оси ординат, которая при г = —50/100 = -0,5 будет равна (см. табл. П2) P= 1-Ф(-0,5)= 1 -0,308 = 0,69.
Таким образом, вероятность того, что неисправленный результат измерения превысит истинное значение мощности, равна 0,69.
4.1.2. Статистические методы обнаружения систематических погрешностей (методы Аббе, Фишера и Стьюдента)
Если систематическая погрешность постоянна и дисперсия неисправленных результатов соответствует дисперсии исправленных, то постоянные систематические погрешности не влияют на случайные отклонения от среднего значения и никакая математическая обработка не позволяет их обнаружить. Определение этих погрешностей возможно только при поверке СИ с помощью более точных СИ или эталонов. Разность в показаниях поверяемого СИ и более точной меры равна искомой систематической погрешности.
Для обнаружения переменных систематических погрешностей используют статистические методы. Для этого исследуемые результаты измерений разбивают на ряд групп (либо эти группы уже имеются) и исследуют их на однородность среднего и дисперсии. При этом удается определить отклонение результатов измерений от среднего, а также тенденции этих отклонений (критерии Аббе, Фишера, Вилкоксона и другие методы).
Метод Аббе. Этот метод обнаружения систематических погрешностей, также называемый способом последовательных разностей, используется для обнаружения случайных (переменных) изменений
