Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
0(P = 1) = 1,414^20^ = 200.
Если, например, Q2 = 3Q1 = 3Q0, то по табл. П15 при P=I, /=3 находим к = 1,265. Подстановка этих значений в формулу (4.1) дает
0(P = I) = 1,265^(1 + 9)0* = 1,265 • 3,1620о = 40о.
Этот же результат можно получить, используя формулу (4.2).
Для определения фаниц при доверительной вероятности, меньшей единицы, необходимо знать функцию вероятностного распределения суммарной пофешности. Подобные распределения получены в примерах 2.14-2.16.
Пример 4.2. Определить коэффициент к в формуле (4.1) для неисклірченной систематической пофешности, имеющий равномерное распределение при симметричных фаницах O0 = ±1, т.е. определить коэффициент к при /и = 1.
Решение. Формула для определения систематической пофешности с заданной вероятностью P будет иметь вид Q(P) = ±kQ0. Поскольку общая площадь под распределением плотности вероятности равна единице и фаница распределения также равна единице, то в данном примере к= Р. Например, при доверительной вероятности P= 0,95 ? = 0,95 и 0(P) = 0,95. Результаты соответствия доверительных фаниц и вероятности P приведены в таблице:
86
Доверительная вероятность P 0,5 0,75 0,9 0,95 0,98 0,99 1
к 0,5 0,75 0,9 0,95 0,98 0,99 1
Q(P) при Є0 = ±я 0,5o 0,75я 0,9o 0,95o 0,98я 0,99o а
Пример 4.3. Определить коэффициент к в формуле (4.1) для неисключенной систематической погрешности, представляющей собой суперпозицию двух составляющих погрешностей, имеющих равномерное распределение при симметричных границах O0 = ±1, т.е. определить коэффициент к при т = 2.
Решение. Известно, что сложение двух одинаковых равномерных распределений приводит к треугольному распределению Симпсо-на. Для решения примера воспользуемся результатами, полученными ранее в примере 2.3. Запишем формулу для вероятности
P = 2 J [-Ij(S -2)db = 41 • (1)
Решая уравнение (1) относительно Q*(P), получаем
вт{P) = 2(1-JTTp). (2)
Результаты вычислений доверительной границы &*(Р) по формуле (2) приведены в таблице. В этой же таблице (четвертая строка) приведены результаты вычислений, полученные с помощью формулы (4.1), где значение коэффициента к взято из табл. П15 (третья строка таблицы). Например, используя формулу (4.1) и учитывая, что O1 = O2 = O0= 1 при />=0,95, получаем 0(0,95) = 1,101V2 = 1,554, а границы этого распределения равны ±20о = 2 (при O0 = 1).
Доверительная вероятность P 0,5 0,75 0,9 0,95 0,98 0,99 1
Q*(P) из формулы (2) 0,586 1 1,38 1,55 1,72 1,84 2
Коэффициент к из табл. П15 0,967 1,101 1,218 1,276 1,414
Q(P) из формулы (4.1) 1,37 1,55 1,72 1,80 2
Видно, что значения Q*(P) и Q(P) при различных P практически совпадают.
Пример 4.4. Пусть при сложении четырех деталей имеют место систематические погрешности, каждая из которых распределена равновероятно в интервале ±0О. Определить доверительный интервал для суммарной погрешности измерения длины изделия, состоящего из четырех деталей, при вероятности P= 0,99.
87
Решение. При доверительной вероятности P= 0,99 в соответствии с соотношением (4.1) границы суммарной погрешности будут
равны G(P= 0,99) = ±1,4^49?" =±2,80о.
Пример 4.5. Определить доверительные границы при вероятности P= 0,99 композиции трех неисключенных систематических погрешностей, имеющих симметричное равномерное распределение при границах G1 = ±0,08, G2 = ±0,05 и G3 = ±0,03.
Решение. В соответствии с методикой определения коэффициента к в формуле (4.1), предложенной в МИ 2083-90 [15], определим коэффициенты Z1 = G1ZG2 = 0,08/0,05 = 1,6 и I2 = 02/03 = 0,05/0,03 = 1,67, а затем к{ = к(1{, т) = к(\,6; 3)« 1,4; Ic2^k(I2, т) = к (1,67; 3)« 1,4 и к = тах(к{, к2)» 1,4. Затем по формуле (4.1) вычислим
G(P = 0,99) = 1,4 J(64 + 25 + 9) • 10"4 = 1,4 • 10"2 • 9,9 * 0,14.
Пример 4.6. Известно, что предел суперпозиции трех неисключенных систематических погрешностей составляет 0,04. Определить границы этих погрешностей при доверительной вероятности P= 0,9, полагая, что границы суммируемых погрешностей одинаковы.
Решение. Поскольку предел погрешности соответствует вероятности P= 1, то, используя формулу (4.1) и значение коэффициентов в этой формуле из табл. П15 при P= 1 (кх = 1,732) и P= 0,9 (&09 = 0,958), можно получить следующие соотношения для определения границ результирующей погрешности при P= 0,9:
G(P = 1) = 1,732 ?б2 =0,04; (1)
G(P = 0,9) = 0,958JgG2. (2)
Из (1) и (2) получим G(P= 0,9) = (0,958/1,732)-0,04 = 0,022.
Пример 4.7. Используя аппарат характеристических функций, вычислить дисперсию и CKO суперпозиции т < 5 равномерных распределений с границами, равными единице O1.= 1.
Решение. Используя соотношение (2.25), а также результаты, полученные в примере 2.20 и задаче 2.19, определим дисперсию и CKO суперпозиции равномерных распределений. Результаты вычислений приведены в таблице.
88
Число суммируемых распределений т 1 2 3 4 5
Суммарная дисперсия 1/3 2/3 1 4/3 5/3
Суммарное CKO 1 2/Гз
Из таблицы видно, что при суммировании равномерных распределений дисперсии складываются пропорционально числу составляющих. Однако доверительный интервал суммарного распределения при заданной (или известной) вероятности может быть определен только после тщательного исследования результирующей функции распределения плотности вероятности [9-11]. Подобные вычисления для самых простых распределений приведены в примерах 4.2 и 4.3.
