Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Nj-N -5 -3 3 5
(Nj-N)2 25 9 9 25
Используя метод дисперсионного анализа, проверить наличие систематической пофешности результатов при уровне значимости принятия решения ? = 0,05.
Решение. Поскольку объектом измерения является поток излучения, подчиняющийся закону Пуассона, то дисперсия результатов измерения равна S2N= N. За 10 с будет зарегистрировано примерно 104 импульсов в каждой группе измерений. При этом дисперсия будет также равна 104 импульсам. Приведя этот результат к скорости счета, т.е. к времени измерения за 1 с, получим (1000±10) с-1 и дисперсия скорости счета будет равна S2 = 100 с-2.
Измерение пуассоновского потока за время 10 с можно рассматривать как десятикратное (л. = 10) измерение за 1 с в каждой из четырех групп измерений с результатом в каждом измерении, примерно равным средней скорости счета. При этом CKO среднего (средней скорости счета) в каждой группе будет равно [1, 18]
102
а дисперсия 100 с-2.
Поскольку результаты измерений равнорассеяны (дисперсии примерно одинаковы для всех четырех измерений), для проверки присутствия в результатах измерения систематической погрешности используем критерий Фишера. Для этого вычислим среднюю дисперсию, характеризующую рассеянность результатов измерения внутри групп (4.5):
Sl= J-І (n.-l)SJ=-L- •4•9•10O = IOOc-2
вг
N-kfcf J 1 J 40-4
и дисперсию, характеризующую рассеянность результатов между четырьмя группами измерений (4.6):
= T1T І -Щ = г10 •68 = 226'7 с"2'
где у — номер группы измерений, всего Z, = 4 группы; и^= 10, так как в данном случае имеются 10 измерений по 1 с каждое; N= 40 — общее число измерений; Sj — дисперсия (рассеянность) измере-
— 1 1 —
ний в каждой у-й группе (см. таблицу); N= у ~~ общее
среднее, вычисленное по результатам всех измерений.
Определим отношение F= 226,7/100 = 2,27 и критерий Фишера (см. табл. П10) при числе степеней свободы кх = 4- 1 = 3, ^2 = = 40-4 = 36 и уровне значимости q = 0,05 (P= 0,95) /^»2,88. Поскольку Fq>F, то принимается с вероятностью 0,95 или значимостью 0,05 гипотеза об отсутствии систематической погрешности в результатах измерений.
Примечания.
1. Из таблицы видно, что среднее увеличивается со временем от 1002 импульсов в секунду в 9.00 до 1012 — к 18.00. Однако значимость этого изменения, как показали оценки по критерию Фишера, несущественна. Это связано с тем, что изменение среднего на 10 импульсов сравнимо с CKO, равным примерно 10 импульсам.
2. Повысим точность получения среднего. Для этого предположим, что время измерения увеличилось в 2 раза, т.е. стало равным 20 с, а вычисленные средние по группам не изменились Поскольку средние определены за общее время 20 с, а не 10 с, как это было ранее, то дисперсия, приведенная к 1 с, уменьшится в два раза: 5J = 50 (Sj = 1,1).
103
Произведя вычисления, подобные проведенным выше, получим:
S2Mr= 453,3; ?2Г=50; F*9\ FjJcx = 3, Ic2 = 76, ?' = 0,05) * 2,7 < F= 9.
Таким образом, при меньшей дисперсии с уровнем значимости 0,05 можно утверждать, что на результаты измерений накладывается систематическая погрешность (временной дрейф).
Пример 4.15. При определении среднего расстояния, пройденного автомобилем, на 1 л бензина получили следующие результаты измерений (средние и CKO) после пробега пяти автомобилей по грунтовой (индекс 1) и асфальтовой (индекс 2) дорогам:
X1 = 21,3 км/л, х2 = 22,7 км/л;
= 0,55 км/л; S2 = 0,45 км/л.
Проверить гипотезу о том, что характер дорожного покрытия дороги влияет на показатели среднего пробега на 1 л бензина, т.е. на появление систематического смещения в показателях расхода бензина при их оценке для разного типа дорожного покрытия.
Решение. 1. Вначале проверим гипотезу о равнорассеянности результатов в двух группах измерений, задаваясь уровнем значимости q = 0,05. При степени свободы к1=к2 = 4 находим по табл. П10 критерий Фишера 7^ = 6,39. Используя результаты измерений, определим соотношение ^ = 5^/^2 = (1,22)2= 1,494. Поскольку F > F, то принимается гипотеза о равенстве дисперсий в группах измерений.
2. Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий воспользуемся критерием (4.8) для выбранного уровня значимости ? = 0,05. По табл. П5 найдем, что при степени свободы к = пх + п2-2 = $ t\-q = 95 = 2,306.
В соответствии с соотношением (4.8) вычислим
1-2 " ^nx-X)S2^n2-ЩІ »і+»2
22,7-21,3 /5-5(5 + 5-2) 1,4 ^72-111
V4 -0,3025 + 4 -0,2025 V 5 + 5 2-0,710 '
Поскольку ^_2>^о95 (4,41 > 2,31), то с вероятностью 0,95 подтверждается гипотеза о том, что математическое ожидание среднего пробега автомобиля на 1 л израсходованного бензина при движении по фунтовой дороге больше, чем при движении по ас-
104
фальтовой дороге. Таким образом, систематическая разница в среднем пробеге на 1 л бензина обусловлена типом дорожного покрытия.
4.2. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
Задача 4.1. Известны границы четырех составляющих неисключенных систематических погрешностей G1 =±0,01, O2 = ±0,02, O3 = ±0,03, O4 = ±0,04. Определить доверительные границы композиции этих составляющих погрешностей при вероятности P= 1,0.
