Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
4 1000-10000 12-22
2. Строят ступенчатое распределение результатов измерений, откладывая по оси ординат среднее значение плотности распределения в интервале Ax,. (рис. 5.1):
й-
Площадь под всей гистограммой, являющейся экспериментальной функцией плотности распределения вероятности результатов измерений, должна равняться единице.
3. По виду гистограммы подбирается теоретическая кривая распределения. Если гистограмма подобна нормальному распределению, то, вычисляя среднее арифметическое x и дисперсию результатов измерений Sx9 строят теоретическую кривую (рис. 5.1)
114
Рис. 5.1. Гистограмма и теоретическое (нормальное) распределение результатов измерений
р(х) =
ехр
(х - х)2 2Sl
(5.10)
4. Проверяют выдвинутую гипотезу о нормальности распределения результатов измерения, используя метод Пирсона. Расхождение между экспериментальной гистограммой и выбранной теоретической кривой в этом методе оценивается с помощью величины
ч2
(5.11)
/=1 1 ' 1=1 коэффициент весов разрядов, выбранный для усиления веса составляющих с малой вероятностью в виде C1 = n/Pt'y Р* — значение вероятности в /-м интервале экспериментальной гистограммы; Р. — значение вероятности в /-м интервале, определенное по теоретической кривой как площадь под /-м интервалом:
Xl=I1C1(If-P1) -I
ПР,
где C1
P1 = \p{x)dx.
(5.12)
Мера расхождения Хк — величина случайная, и плотность вероятности распределения этой величины подчиняется распределению Пирсона при пі - > 5 и /і —> оо (реально при п > 40).
Заметим, что число степеней свободы здесь к = г - 3, поскольку результаты измерений использованы для вычисления среднего, дисперсии и общей площади под гистограммой.
115
Задаваясь уровнем значимости q = 1 - P= J p{^)d^y находят по
табл. П7 значение ХК,д, соответствующее значению q или вероятности Р. Если xl ^ ХІд у то распределение результатов измерений принимают нормальным и гипотеза о нормальности распределения считается верной. При этом возможны ошибки. В соответствии с математической статистикой, если отвергается правильная гипотеза, то имеют дело с ошибкой 1-го рода, а если принимается неверная гипотеза (распределение нормально, но это отвергается в результате исследований), то имеет место ошибка 2-го рода.
Пример 5.4. Погрешности 500 результатов измерений дальности до цели радиодальномером приведены в табл. 1. Пользуясь критерием Пирсона с уровнем значимости 0,01, проверить согласованность теоретического и экспериментального распределений.
Таблица 1
Интервал погрешности измерения дальности Д6(., м -25; -15 -15; -5 -5; 5 5; 15 15; 25
Количество погрешностей в интервале ті 50 130 200 100 20
Относительная частота P] 0,10 0,26 0,40 0,20 0,04
По условию задачи число интервалов г = 5, а длина интервалов Д5, = 10 м. Предположим, что экспериментальное распределение является нормальным. Для этого, пользуясь экспериментальными данными, определяем оценки среднего и дисперсии. Поскольку данные табл. 1 сгруппированы по интервалам, то вычислим эти оценки по формулам
5
5 = 2>,/>* = -20-0,10 - 10-0,26 - 0-0,40 + 10-0,20 + 20-0,04 = -1,8 м, /=і
Sl = X Ь)Р* - (б)2 = 400 • 0,10 + 100 • 0,26 + 100 • 0,2 + 400 • 0,04 -
ы
-3,24 = 98,76 м,
где 5, — середины интервалов: -20, -10, 0, 10, 20; Sx = 9,93 м.
Тогда выражение оценок плотности вероятности и функции распределения будут иметь вид
116
,(5) =
exp
2Sl
V2u • 98,76
exp
(5 + 1,8) 2 • 98,76
ф{і)= \p{b)db = Q>
ґ5 + 1,8^ I 9,93
Для определения меры расхождения (5.11) необходимо вычислить вероятности
P1 = ф
'»•+1
-ф
где 8(, 5/+1 — границы /-го интервала, а Ф(г) находится из табл. ПЗ. Например, для четвертого интервала (5; 15) имеем
P4 =Ф
15 + 1,8' I 9,93 J
ФІ ^ I = 0,2012.
Результаты вычислений остальных вероятностей сведены в табл. 2.
Таблица 2
о/, M -25; -15 -15; -5 -5; 5 5; 15 15; 25
Л 0,0821 0,2818 0,3794 0,2012 0,0417
Подставив соответствующие значения в формулу (5.11), получим расхождение
ч2
пР
3,427.
Поскольку число степеней свободы к = 2, то из табл. П7 для уровня значимости ^ = 0,01 или вероятности принятия гипотезы
верной P= 0,99 находим y}kq = Х2;o,oi = 9>21-
Так как, у}к = 3,427 <xlg =9,21, то гипотезу о том, что результаты измерения дальности распределены по нормальному закону, можно считать правдоподобной.
117
Проверка с помощью составного критерия. Вычисляется статистика
d = ijxi-x\ljni{x,-x)2> (5ЛЗ)
квантили (квантиль — абсцисса, соответствующая определенной вероятности) распределения которых приведены в табл. П11.
Если при данном числе измерений п и выбранном уровне значимости qx соблюдается условие dx_05q<d< d05q то гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если — нет, то отвергается. Гипотеза по второму критерию принимается, если не более т разностей | X1 - х | измерений превышают уровень Z05(X+P)SX, где — оценка CKO результатов измерений, z0 5(UP) — квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения, определяемая по табл. ПЗ или П4 при Ф(г0 5(UP)) = 0,5 (1 + Р). Величина P находится при заданном уровне значимости q2 по данным табл. П12.
