Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (7.15) есть волновое уравнение гармонического осциллятора с
частотой [см. (7.7))
еИ
и с центром в точке
<7-17) <7Л8>
Ввиду этого собственные значения энергии равны
Ех =(2л-(- l)fiQ = (2re-f- 1):>Я. (7.19)
Таким образом, энергия не зависит от ky. Для нахождения числа состояний,
соответствующих каждому собственному значению, мы должны задать граничные
условия. В направлении у и г мы наложим, как и раньше, циклические
граничные условия, которые допускают значения ky и ks, равные целым
кратным соответственно от 2n/L2 и 2ir/L3. В направлении оси х накладывать
циклическое условие неудобно, так как уравнения (7.13) и (7.15) зависят
от х и поэтому не имеют периодических решений. Вместо этого мы будем
считать, что металл в направлении оси х ограничен двумя стенками на
расстоянии Lx друг от друга. Если при этом Ll велико по сравнению с
протяженностью осцилляторной функции ип(х - *0), которая имеет порядок
радиуса орбиты (7.6), то функции, для которых центр х0 лежит достаточно
глубоко внутри объема, не будут подвержены влиянию стенок. Решений с х0,
лежашим вне рассматриваемого промежутка, не существует; для малой области
значений х0 вблизи стенки ее присутствие приводит к изменению
осцилляторной собственной функции и значений энергии (7.19). Так как в
поле 1000 гаусс при энергии электрона, равной 2 эв, радиус равен примерно
5 • 10-3 см, то наличием граничной области обычно можно пренебречь.
Следовательно, ширина интервала допустимых значений ky равна (eH/hc)Lv
Таким образом, мы можем окончательно записать
Е(п, Аг) = (2д + 1)рЯ+^-^, (7.20)
(7.21)
причем каждому значению энергии соответствует
L\L^b4 2кhe
состояний. Легко показать, что число состояний в интервале, достаточно
большом по сравнению с 2у//, равно числу состояний для свободного
электрона, так что единственной новой особенностью является расстояние
между уровнями.
Отсюда следует, что если мы будем считать, что kz изменяется практически
непрерывно, то число состояний с энергией, меньшей ??
§ 2. ДИАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ЛАНДАУ) 171
(без учета спина), равно
Z(E) = 2(2^* %[?-(2д + 1)\>н\% д.22)
п
где сумма берется по всем неотрицательным целым значениям п, для которых
выражение в квадратных скобках положительно. Выражение для свободной
энергии [см. (4.46)] имеет вид
F = Wri- 2kT J In(1 + е'п-^кТ) dE. (7.23)
Интегрируя по частям, находим
F = Nt\ - 2 J Z (Е) f(JE) dE, (7.24)
где f(E) - функция Ферми. Подставляя (7.22), мы после дальней-
шего интегрирования по частям находим
ОО
F-m+Af Т(,)А( (7.25)
где
причем сумма опять берется по всем тем целым значениям п, для которых
выражение в скобках положительно. Для остальных параметров имеем
в = -!!- ь - -
0 2(*Я ' 2(*// '
, 16m3/a (pH)'1' ^1^2 (7.27)
Мы вычислим функцию ср с помощью формулы суммирования Пуассона *). Это
дает
ОО "
<p(s)= 2 (- 1 у J (s - *)% dx. (7.28)
{к-СО О
Этот ряд сходится слишком медленно для того, чтобы можно было вычислить
ср (з). Однако если 0 не слишком мало, то дальнейшее интегрирование в
формуле (7.25) приводит к относительному уменьшению членов высокого
порядка. Из формулы (7.25) видно также, что нам нужно лишь значение ср в
окрестности s0, которое имеет
1) См. § 2.8 в книге Титчмарша [71].
172
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
большую величину, если
<С т,. (7-29)
Для I Ф 0 интеграл в (7.28) может быть приведен к следующему виду:
3 "2лЦ" С j.. | Зв ¦" е *
J аУе +W-35Г- (7,3())
о
Первый член является быстро осциллирующей функцией от г, И для умеренных
температур
кТ^>2?Н (7.31)
он несущественен по сравнению с остальными членами в формуле (7.25).
Поэтому мы пока опустим его. При этом получаем
F = N4 + A | (4 .*-&)? (j+jrZf)*. (7-32)
Последний множитель в подинтегральном выражении, как всегда,
имеет резкий максимум вблизи г0, при условии, что е0 6, т. е. при
т," kT. (7.33)
Мы можем вынести из-под интеграла другой множитель, взятый в точке е0.
При этом остается
F = Nti - ~ А& + 4 (r)о2- (7-34)
Вспоминая определения (7.27), мы видим, что первые два члена не зависят
от Я и поэтому должны соответствовать свободной энергии в отсутствие
поля. Третий член равен
F = Vv (7 35ч
1 ЗтсЗй(r) у 2
и в соответствии с формулой (7.8) для восприимчивости на единицу объема
дает
V Ml ygm'SV ¦ *а /2чУА /7
н ~ зт* ~~ 12тс2Дс2 т) • w •OD-'
Величина т" выраженная через А0 - волновое число электронов в граничной
области, - равна т) = (йА0)9/2да, так что
тай?- <737)
Строго говоря, в первых двух членах свободной энергии (7.34) следовало бы
учесть зависимость т| от Н, так как мы должны были
§ 2. ДИАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ЛАНДАУ) 173
включить член, зависящий от поля, и в уравнение
f = 0, (7.38)
дающее правильное определение ц. Однако изменение *г) в этом случае
пропорционально Я'2, а поскольку, согласно (7.38), изменение F в
зависимости от т) является малой величиной второго порядка, то это дает в
F лишь поправку, пропорциональную Я4, которая в общем случае пренебрежимо
