Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
энергия электрона может измениться на величину порядка kT. Для изменения
температуры электронного газа только это и нужно. Поэтому эффективное
время столкновений в данном случае пропорционально Г-8, а не Т~ъ, как это
было раньше.
Так как теплоемкость электронного газа пропорциональна Т, то
теплопроводность оказывается пропорциональной Т~г при низких
температурах.
Этот закон не подвержен сомнениям, связанным с существованием процессов
переброса. Основанием для этого является тот факт, что определение
теплопроводности относится к такому состоянию, при котором нет
электрического тока; как и в § 2 настоящей главы, нам следует допустить
существование электрического поля, которое обеспечивает отсутствие тока.
Поэтому дрейф электронов отсутствует, в связи с чем отсутствует тенденция
к возникновению дрейфа фононов.
Фононы в принципе участвуют в теплопроводности, однако, как мы видели,
они сталкиваются с электронами гораздо чаще, чем между собой, и поэтому
их время столкновений гораздо меньше, чем в изоляторе. Так как их
теплоемкость мала, то доля, которую они вносят в общий перенос тепла,
совершенно ничтожна.
§ 8. О применимости сделанных предположений
В § 3 настоящей главы я подчеркнул важность двух предположений, которые
использовались в наших основных рассуждениях. В частности, предположение
2 заключалось в выполнении неравенства Ь/т < кТ. Но при высоких
температурах наша оценка (6.74) показала, что эти величины одного
порядка. Взяв более точные цифры для т из измеренных значений
проводимости, Мотт и Джонс [46] приводят следующие значения времени
столкновений для щелочных металлов:
Металл Li Na К Rb Cs
т • 10й 0,86 3,1 4,4 2,7 2,1
Приведенные значения т следует сравнить с Ь/kT-2,5 • 10~14. Отсюда видно,
что предположение 2 выпо няется, ьообще говоря, плохо и положение
ухудшается еще более в случае грязных образцов или сплаьои. Так как и при
высоких температурах 1/т-Т, то изменение температуры в этой области не
улучшает дела. Однако при низких температурах, где время столкновений
возрастает быстрее, наше предположение в общем является справед..и"ым.
Для неидеального образца оно опять может нарушиться при низких
температурах,
I 8. О ПРИМЕНИМОСТИ СДЕЛАННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ
163
где сопротивление обязано главным образом загрязнениям и стремится к
постоя ному пределу.
Поэтому может показаться, что вся теория явлений переноса стоит на очень
шатком основании. Однако, как показал Ландау, до тех пор пока мы имеем
дело только с упругими столкновениями, те же результата могут быть
получены и без предположения 2 при помощи несколько иного подхода.
В действительности во всех тех случаях, когда возникали сомнения в
правильности этого предположения, а именно при высоких температурах и в
условиях, когда главную роль играет остаточное сопротивление, связанное с
примесями, мы имеем дело с упругими столкновениями, и поэтому они
представляют собой наиболее критический случай.
Рассуждение Ландау (полное изложение было дано Пайерлсом [54]) начинается
с рассмотрения электронов в статическом поле. Предполагается, что
последнее обусловлено как периодическим потенциалом идеальной решетки,
так и влиянием нерегулярных возмущений. В этом комбинирова ном поле
энергия продолжает сохраняться, и мы можем определить число состояний на
единичный интервал энергии, которое мы опять обозначим через dZ/dE. Мы
рассмотрим большое число электронов, распределенных по этим состояниям,
так что число электронов в интервале dE равно
2g f(E)dE,
где /(?) - произвольная функция, не обязательно имеющая отношение к
функции Ферми. Так как мы не учитываем никаких процессов, которые могли
бы изменить энергию, то любое такое распределение останется стационарным.
Теперь представим себе ту же систему в бесконечно малом электрическом
поле. Из общих принципов статистической механики мы заключаем, что если
нерегулярная часть потенциала достаточно велика, то это приведет к
стационарному состоянию с током, который пропорционален полю. Более того,
так как электрическое поле способно изменить электронную энергию лишь на
чрезвычайно малую величину, то участие в полном токе электронов
определенной энергии будет зависеть только от значения функции
распределения для этой энергии и ее ближайшей окрестности.
Нам известно также, что ток должен обратиться в нуль, если /(?) является
константой, так как вещество с однородным распределением электронов по
всем энергиям в энергетической полосе должно вести себя как изолятор.
Поэтому выражение для полного тока должно иметь вид
df
164
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
где Q(?) - какая-то функция от энергии. Это выражение имеет тот же вид,
что и формула (6.14), и действительно, большая часть теории, развитой в §
1 настоящей главы, может быть воспроизведена таким же образом.
Важнейшим обстоятельством является следующее: из определения (6.78)
следует, что функция Q(E) зависит только от свойств электронов с
энергиями, очень близкими к Е, и так как это должно быть справедливо для
