Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
волновому пакету с коммутирующими компонентами и вернуться к обозначению
к. Формулы (7.50) подтверждают правильность предположенного нами
уравнения (4.43) для описания ускорения в магнитном поле.
Чтобы определить, как влияет поле на ток, мы должны добавить в уравнение
Больцмана, помимо члена (6.9), следующее выражение:
Мы опять начнем с предположения о наличии определенного времени
столкновений, которое, однако, может зависеть от энергии. Тогда вместо
уравнения (6.13) мы получаем
где по тем же причинам, что и раньше, опущено nv Для свободных электронов
уравнение упрощается и принимает вид
Скобка в левой части представляет собой операцию, которая дает нуль, если
применить ее к любой функции от энергии, и которая превращает функцию,
зависящую линейно от скоростей, в другую линейную функцию. Отсюда
следует, что уравнение можно решить, положив
где gx, gy - функции от энергии. Подставляя (7.55) в уравнение и
сравнивая угловые зависимости членов в правой и левой частях
рЯ С kT.
(7.51)
(7.52)
"1 = gxVx-\-gyVy,
(7.55)
182
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
уравнения, мы находим
х ёа %(r)ёу eFa dE '
•7 By Ч~ 2Qga, = eFy -gjj,
(7.56)
(7.57)
где Q - ларморова частота, определяемая формулой (7.7). Следовательно,
-"(/Ъ+ 22^) df ёх 1 _(_ 402x2 dE '
- ex (Fy - 2Q-iFa}) df
8У 1-^422x8 IE'
Если мы имеем ток, текущий по проводу, то считается, что
направление тока задано. Если мы будем принимать это
направление за
ось х, то Jy должно обратиться в нуль. Но так как [см. (6.14)]
r-iZ <7S8>
J> = 2'hl§e>dE
и ввиду того, что dfjdE равно нулю везде, кроме окрестности Е = ц,
условие Jy - 0 означает, что другой множитель в gy должен обращаться в
нуль в точке ч\, т. е.
Fy = 2QFxx (*)). (7.59)
Обычно принято выражать поперечный градиент потенциала через продольный
ток и магнитное поле при помощи коэффициента Холла
Fy ex (")
= <7-60>
Подставляя, согласно (6.16), проводимость, имеем
<7'61>
Этот хорошо известный результат создает впечатление, что коэффициент
Холла является мерой числа электронов проводимости в единице объема.
При тех же предположениях мы видим, что для энергий,
близких
к ц, первое уравнение (7.56) не зависит от магнитного поля. Так как
только эти энергии действительно существенны для тока (7.58), то отсюда
следует, что влияние магнитного поля на сопротивление незначительно.
Эти результаты хорошо соответствуют изотропным условиям, даже если
вероятность рассеяния является функцией угла, как в фор-
S 4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И СОПРОТИВЛЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
да
муле (6.17). Это следует из того, что распределение (7.56) является
сфеоической гармоникой первого порядка, и поэтому, как и в случае
электропроводности, вместо времени столкновений -с входит время т1 из
соотношения (6.21).
Причина отсутствия изменения сопротивления в магнитном поле была особенно
просто объяснена Вильсоном в его книге [77]. В изотропном случае все
электроны имеют одинаковую среднюю скорость. Поперечное электрическое
поле будет принимать такую величину, которая компенсирует поперечную
силу, возникающую благодаря действию магнитного поля на электроны с этой
средней скоростью. Таким образом, электрон будет подвержен действию лишь
продольного поля и столкновений.
Однако, если средняя скорость различна для разных групп электронов, то
поперечная сила будет компенсироваться только в среднем, и каждый
электрон будет двигаться все же по искривленной траектории. Это можно
просто проиллюстрировать, если считать, что электроны имеются в двух
различных полосах, каждая из которых изотропна и обладает своим временем
столкновений. Предположим, что обмен электронами между полосами
происходит медленно. При этом для каждой полосы будем иметь
Fx = \jx-RHJr Fv = \jy + RHJX,
или для компонент тока
, = °Fx + RHa*Fy j __ яРу RH&PX
* 1 + ' у 1 + • (7-62)
Результирующий ток равен сумме токов в обеих полосах. Складывая выражения
типа (7.62) и требуя опять выполнения условия Jy=*0, после некоторых
неинтересных алгебраических преобразований находим
е Rrf + fyl + R^lrf^ + PJ _ у 4 + + х' ( )
а для относительного увеличения удельного сопротивления получим
axa2(arRx - a2R2)*№
Ро (oj -|- 02) -(- (Rt -(- R2)2
Первое из этих уравнений дает коэффициент Холла, если выразить Fx через
Jx. Обычно эффект Холла измеояется в довольно слабых полях, так что мы
можем пренебречь членами порядка #а в фор-
184
ГЛ. Г. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
муле (7.63) и, кроме того, положить /ra,==/j;/(ei + <J2)> При этом
получается
Д.а? + R24
""-та1- <7-65>
Что касается изменения сопротивления, то мы замечаем, что оно опять
обращается в нуль, если произведение коэффициента Холла и проводимости
одинаково в обеих полосах. Согласно формулам (7.61) и (6.16), это
означало бы, что "подвижность* ez/m одинакова в обеих полосах, что
находится в соответствии с качественным рассмотрением, которое было
приведено выше.
Если это не имеет места, то сопротивление возрастает; это возрастание
