Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
4, § 2,"V(x, х') - взаимодействие между двумя электронами, a W-между
сердцеьинами. Множитель 11г в последних двух членах введен, чтобы не
учитывать дважды взаимодействие между любыми двумя частицами. Интеграл
ал, п> зависит только от расстояния между атомами п и п! и быстро
уменьшается при увеличении этого расстояния. Мы пренебрежем всеми
членами, кроме тех, которые относятся к соседним атомам. Если обозначить
а",п+1 через а, то правая часть уравнения (8.16) станет равной 2Na.
Теперь сделаем следующий шаг и включим члены с перекрывающимися
множителями типа (8.14), считая, что они содержат не более двух таких
множителей, причем перекрытие будем учитывать только для соседних атомов.
В диагональном члене {jx| = {ньх}; поэтому дальнейшие члены мы получим,
перемножая такие два произведения из детерминанта (8.10), в которых
переставлены два соседних электрона с одинаковым спином. (Если спины
различны, то произведение обращается в нуль вследствие ортогональности
функций.) Это приводит к появлению в (8.15) члена г | j3 |а, где
р-J4<*) ?.+i (*>**• (8Л8>
а г - число пар соседей с параллельными спинами. В уравнении (8.16)
появляется член -г?, где
T = JJ<(*)*n+i(x'HUn(x') + Un+1{x) + V(x, x') + W\X
X<p"(*0<pn+1 (x)dxdxr. (8.19)
Это-так называемый "обменный интеграл"; в подинтегральном выражении в
квадратных скобках первые два члена отрицательны, в то время как
остальные два положительны. Множители, находящиеся за скобками, вместе
взятые, положительны, когда х = х', но отрицательны в другой области,
если волновая функция имеет узлы. Пока мы будем считать -у положительным,
так как именно в этом случае мы получим ферромагнетизм.
Члены порядка J3 и -у возникают также, когда {;х} и {;j/} не одинаковы, а
просто различаются перестановкой противоположных спинов. В этом случае
(Ф* МФ{/})=-Р3.
(Ф*Ьх} (//-?")*{!*'})----'t-
пользуясь всеми этими формулами, уравнение (8.13) можно переписать в виде
ЦЕ - Е0) (1 - #•?¦) - 2Na -\-r4\A М =
= 2 [(Е -*о)Р* -ТМИ. (8-21) Ю
(8.20)
194
ГЛ. в. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
причем сумма в правой части содержит только те размещения спинов, которые
отличаются от {р} обменом двух соседних противоположных спинов.
Повидимому, мы имеем право отбросить величину [З2, поскольку она всегда
появляется в комбинации с разностью Е- Е0. Эта разность сама по себе
является величиной первого порядка относительно малых величин а, [З2, f.
так как в отсутствие взаимодействий и перекрытия волновых функций Е,
очевидно, равно Eq1). Мы отметим также, что N - г представляет число пар
смежных атомов с различными спинами, что как раз соответствует числу
членов в правой стороне уравнения.
Введя сокращенное обозначение
в = ? - Е0 - 2N (в - , (8.22)
мы находим окончательное уравнение для А:
(r)лМ = т2 {"/}). (8.23)
{*'}
Здесь сумму следует понимать в том же смысле, что и раньше. В частности,
в ней не связываются такие размещения спинов, которые имеют различные
значения проекции полного спина
m = (8-24)
П
(Это справедливо не только в используемом нами приближении, но и в общем
случае.) Поэтому мы можем рассматривать каждое значение т. по
отдельности. Простейший случай - это m = N, когда все спины параллельны.
При этом сумма в (8.23) не содержит ни одного члена и s = 0.
Далее возьмем m = N-1, т. е. случай, когда один спин перевернут. Если
положение этого спина характеризовать координатой п соответствующего
атома в цепочке (п - в единицах постоянной решетки), то мы можем
употреблять п для описания размещения спинов { j j. Тогда уравнение
(8.23) можно записать в виде
гАп = ч(2Ап - Ап+1 - Дй_,). (8.25)
В качестве решения этого уравнения имеем
Ап = const • е*вап,
8 (g) = 2y (1 - cos ga). (8.26)
!) Роль членов с (За в (8.21) была рассмотрена в нескольких статьях. Керр
[17] приходит к выводу, что ими можно пренебречь, если слегка изменить
смысл параметров и и
8 2. ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ
195
Для удобства дальнейших обобщений мы опять включили здесь межатомное
расстояние а в определение фазового множителя. Рассуждая так же, как и
раньше в гл. 1, § 5, и гл. 4, § 2, находим, что g действительно и кратно
2k/No = 2k/L, где L-длина цепочки; удобно считать g лежащим между -к/а и
к/а. Значения энергии образуют практически конечную полосу - от 8 = 0 до
s = 4f.
Этот результат обнаруживает одно из наиболее важных качественных различий
между моделью Вейсса и рассматриваемой нами картиной. Если в модели
Вейсса энергия, нужная для переворачивания элементарного магнита в
полностью насыщенном состоянии, равна постоянной величине 4&0, здесь мы
находим непрерывное распределение значений энергии. Это приводит к
увеличению числа "неправильных" спинов при низких температурах.
Действительно, как мы увидим, в одномерном случае перевернуть спин так
легко, что вообще нельзя получить ферромагнетизм.
Рассмотрим теперь m = N - 2. Здесь мы будем характеризовать размещение
спинов, фиксируя положения п1 и п2 двух "неправильных" спинов. Таким
