Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
буквально.
Как и электронная теплоемкость, парамагнетизм является наибольшим в
случае узкой энеогетической полосы, в которой вырождение снимается при
более низкой температуре, поэтому нам скорее следовало бы вместо формулы
(7.4) применять формулу (7.3). Мотт (см. книгу Мотта и Джонса [46])
применил это соображение для рассмотрения переходных элементов, таких,
как палладий и платина, которые содержат незаполненную внутреннюю
оболочку. Электронные состояния, соответствующие этим внутренним
оболочкам, сами по себе приведут к узким энергетическим полосам, так как
перекрытие волновых функций между соседними атомами мало и ввиду этого
применимо приближение, использованное в гл. 4, § 2. Задача усложняется
благодаоя присутствию внешних электронов, но большое значение dZ/dE,
обусловленное внутренней оболочкой, сохраняется.
Результат (7.5), указывающйй на возможность большого не зависящего от
температуры парамагнетизма, впервые был получен Паули в его статье [50],
которая послужила началом развития квантовой теории металлов.
§ 2. Диамагнетизм свободных электронов (теория Лаидау)
В предыдущем параграфе мы рассмотрели влияние магнитного поля на спин
электрона. Теперь мы должны рассмотреть влияние этого поля на электронную
орбиту. Это более трудная, но в то же
(7.4)
Отсюда следует, что магнитный момент равен
(7.5)
168
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
время значительно более интересная задача. Прежде всего мы должны решить
ее для случая свободных электронов, а уже потом мы обсудим, как относятся
полученные результаты к реальным металлам.
Важно избежать очень естественной ошибки, которая в течение некоторого
времени создавала впечатление, что в этой задаче имеется какая-то
фундаментальная трудность.
В классической механике проекция электронной орбиты на плоскость,
перпендикулярную к магнитному полю, является окружностью радиуса
mcv _ у
r ~ еН ~ 2U ' )
где v - скорость электронов в перпендикулярной плоскости, с - скорость
света и
есть ларморова частота. Так как одной электронной орбите в среднем по
времени соответствует магнитный момент
егу щу%
~2Г ~!7Г'
то, казалось бы, эту величину следует рассматривать как магнитный момент,
отнесенный к одному электрону. То обстоятельство, что это выражение не
зависит от заряда и обратно пропорционально Я, очевидно, свидетельствует
о том, что такой результат неправилен. Ошибкой такого подхода было
предположение, что мы имеем дело с некоторым количеством замкнутых
круговых орбит. Однако в любом конечном объеме электроны вблизи границы
не могут замкнуть свою орбиту. Поэтому в дополнение к некоторому числу
замкнутых окружностей мы должны также рассмотреть незамкнутые дуги
окружностей, принадлежащие всем тем электронам, орбиты которых
пересекаются со стенкой. Все такие дуги вместе взятые дают в итоге
поверхностный ток, который обтекает объем в направлении, противоположном
направлению тока индивидуальных электронных орбитам, и можно легко
показать, что такой ток уничтожает весь эффект, происходящий от замкнутых
орбит.
Такое рассуждение может создать впечатление, что решение нашей задачи
зависит от формы и природы поверхности. Этого, однако, можно избежать,
если вместо того, чтобы вычислять момент, происходящий от каждой
отдельной частицы, мы вычислим свободную энергию системы F и затем
применим термодинамическое соотношение
дР
I 2. ДИАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ (ТЕОРИЯ ЛАНДАУ) 169
В классической механике с применением классической статистики имеем
F = - NkTIn J J dspdsve~E r^kT, (7.9)
где E(p, г)- функция Гамильтона, выражающая энергию частицы как функцию
импульсов и координат. В присутствии магнитного поля имеем
е(Р' г^ш(р-тА)2+уЮ' <7Л0>
Если вместо р мы подставим в качестве переменной интегрирования величину
П = р-|А (7.11)
(П в действительности равно mv, где v - скорость электрона) и сначала
проинтегрируем по Л, то сразу становится очевидным, что вектор-потенциал
А, а вместе с ним и магнитное поле выпадают из уравнения. Поэтому
свободная энергия не зависит от Я и, согласно (7.8), магнитный момент
отсутствует. То же рассуждение может быть проведено, если мы применим
статистику Ферми с классической функцией энергии, и поэтому ясно, что
магнитный момент в состоянии теплового равновесия может быть следствием
только квантовых явлений в движении частиц.
Таким образом, нам нужно найти энергетические уровни электрона в
магнитном поле. В дальнейшем удобно применять векторный потенциал вида
Ах= 0, Ау = Нх, Аг = 0, (7.12)
дающий однородное поле напряженности Я в направлении оси г. Уравнение
Шредингера при этом имеет вид
&i/ , t д 1еНх\*, , , 2mE , п
drff+te-йг) ,1'+ж+-р-'?'==0- <7ЛЗ>
Так как это уравнение не содержит в явной форме ни у, ни г, то мы можем
положить
ф(*, у, z) = ei %у+к*г)и(х)] (7.14)
при этом для функции и получается следующее уравнение:
(*.-?*)']" = ". <(tm)">
где
?i -?-ягЧ <7-16>
есть энергия движения в поперечной плоскости.
170
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
