Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
в магнитном поле, будут содержаться малые добавки от различных атомных
состояний. Такие члены мы будем называть не диагональными.
Если не учитывать эти недиагональные члены, то можно показать, что
энергетические уровни электрона получаются при помощи замены аргумента
функции Ег (к) на вектор к, компоненты которого будут операторами,
удовлетворяющими перестановочным соотношениям
[?г(к) - энергетическая функция периодического поля, которая применялась
ранее]. Это - обобщение случая свободных частиц, в котором мы можем
рассматривать формулу (7.13) как выражение энергии через волновой вектор;
последний можно взять в виде
где А - векторный потенциал. Компоненты вектора * удовлетворяют
соотношениям (7.42).
Доказательство высказанного утверждения слишком длинно для того, чтобы
приводить его здесь. Оно было дано Пайерлсом [52] для частного случая
сильной связи (см. гл. 4, § 2); более красивое и общее доказательство
дано Харпером [28].
Если в обычной функции энергии полосы проводимости мы будем считать
компоненты волнового вектора некоммутируюшими, то мы получим оператор,
собственные значения которого найти нелегко. Однако высокотемпературную
восприимчивость (т. е. без осциллирующей
ф(г) е"еЕ'Па>хпУ,
(7.41)
(7.42)
* = grad--|-A
(7.43)
176
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
части) можно рассчитать без точного знания энергетических уровней. Для
этого я должен опять сослаться на свой первоначальный вывод [52] или
некоторые другие выводы, например вывод, приведенный в книге Вильсона
[76]. В результате оказывается, что постоянная часть восприимчивости
пропорциональна интегралу, взятому вдоль граничной области, от выражения
где Е (к) - энергетическая функция в отсутствие магнитного поля
(принимается, что магнитное поле направлено по оси г). Так как объем
граничной области пропорционален dZfdE, то восприимчивость
пропорциональна
Для свободных электронов эта величина равна
а в общем случае восприимчивость получается, если в формулу (7.37) вместо
множителя (7.46) подставить выражение (7.45). Это может быть сделано с
помощью нахождения ,эффективной массы* из условия равенства выражений
(7.45) и (7.46), для чего надо взять в качестве k0 какое-то среднее
значение волнового вектора в граничной области.
В частности, вблизи дна симметричной зоны, где энергия может считаться
пропорциональной № и где мы уже определили эффективную массу по формуле
(4.44), нам просто достаточно подставить в формулу (7.37) величину т*
вместо т. Интересно, что диамагнитный эффект возрастает для малых
эффективных масс, в то время как парамагнитная восприимчивость (7.5) в
этом случае убывает. Поэтому в случае сильно диамагнитных металлов,
например висмута, когда полная восприимчивость велика, эффективная масса;
повиди-мому, мала, иначе говоря, согласно уравнению (7.44), в этом случае
градиент энергетической функции очень быстро меняется в зависимости от к.
Это объяснение хорошо согласуется с теорией структуры висмута,
предложенной Джонсом (см. гл. 5, § 4). Мы видели, что эта структура
является следствием близости границы распределения Ферми к границе зоны,
появляющейся в результате искажения простой кубической структуры. Теперь,
если взглянуть на фиг. 136, то можно заметить, что вблизи границы зоны,
созданной малым искажением, вторая производная энергии по волновому
вектору особенно велика, а следовательно, эффективная масса очень мала.
То же относится
(7.44)
(7.45)
§ 3. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОЛЯ
/77
и к определенным типам структур сплавов, упомянутых в гл. 5, § 4, которые
также являются диамагнитными.
Согласно Джонсу, существует по крайней мере одна полоса, которая почти
целиком заполнена и содержит лишь небольшое число " дырок небольшое число
электронов переходит в следующую полосу. Поэтому в данном случае мы имеем
дело соответственно с окрестностью максимума или минимума энергии, и
ввиду этого разумно считать энергию квадратичной функцией от к. На первый
взгляд опять следует взять почти изотропную функцию, так как по своей
симметрии структура висмута мало отличается от кубической. Однако
максимумы энергии лежат скорее всего на углах многогранника,
определяющего границы зоны, а минимумы следующей полосы - вблизи середин
граней. Поэтому имеется несколько точек с одинаковой энергией, различие
которых не определяется вектором обратной рещетки и которые,
следовательно, соответствуют различным электронным состояниям, но
переходят друг в друга при таком повороте, при котором кристалл переходит
в эквивалентное положение. В этом случае, как я указывал в гл. 4, § 5,
энергетические поверхности вблизи каждого минимума не обязаны обладать
какой-либо особой симметрией.
Несмотря на это, не следует ожидать, что восприимчивость будет сильно
зависеть от направления, так как различные части энергетической
поверхности, которые дают вклад в величину (7.44), дадут в итоге
изотропный общий эффект.
В случае низких температур, где могут оказаться существенными
