Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
сначала пропорционально Яа, но затем при полях, для которых HoR в обеих
полосах больше единицы, доходит до насыщения. Наличие таких полей
означает, что обратное время столкновений для каждой полосы становится
меньше ларморовой частоты, иначе говоря, это эквивалентно выполнению
неравенства (7.47). В то время как для постоянной восприимчивости
соотношение между временем столкновений и периодом ларморовой прецессии
было несущественно, мы видим, что для изменения сопротивления в магнитном
поле оно имеет большое значение.
Если мы имеем дело с почти заполненной полосой, в которой имеется только
небольшое количество свободных мест вблизи изотропного максимума энергии,
то теория строится так же, как и раньше. Но поскольку теперь ток
переносится положительными "дырками*, то знак эффекта Холла, очевидно,
будет обратным, так как в формулу (7.61) заряд входит в первой степени.
Если металл содержит несколько положительных дырок в одной полосе и
несколько электронов в другой, то коэффициент Холла определяется
соотношением (7.65), и отсюда ясно, что знак эффекта будет зависеть от
количества и подвижностей электронов и дырок.
Все это рассуждение относится к изотропному случаю. Для более общего
случая нам пришлось бы вернуться к уравнению (7.53). Его решение уже
нельзя будет записать в замкнутой форме, хотя оно может быть записано в
виде степенных рядов по возрастающим или убывающим степеням Я, пределы
применимости которых опять определяются соотношением между временем
столкновений и периодом ларморовой прецессии. Изменение сопротивления в
магнитном поле опять имеет конечную величину, и мы можем объяснить это
исходя из того факта, что, хотя мы и считаем время столкновений
постоянным, эффективная масса для электронов, движущихся в разных
направлениях, является различной. Можно также показать, что в очень
больших полях сопротивление опять стремится к постоянному пределу.
Однако в действительности обсуждение этого уравнения имеет мало смысла,
так как предположение о постоянном времени столкновений наверняка не
оправдано в анизотропном случае. Мы не можем
$ 4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И СОПРОТИВЛЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
185
теперь использовать тот аргумент, который мы использовали при выводе
закона Видемана - Франца. Так, мы не можем считать, что имеем дело с
отклонением от равновесия, которое меняется вдоль зоны Ферми как
компонента скорости электрона, поэтому мы можем применять то же самое
среднее значение времени столкновений, что и в электропроводности. Это
справедливо в изотропном случае, где мы нашли решение типа (7.55), но,
подставляя эту функцию в общее анизотропное уравнение (7.53), легко
видеть, что она не является решением *).
Интересным для применения результатов этого параграфа является
рассмотрение вопроса об анизотропии таких металлов, как щелочные. В этом
случае почти наверняка все электроны находятся в одной полосе; если
энергетические поверхности и столкновения электронов с решеткой были бы
изотропными, то следовало бы ожидать отсутствия изменения сопротивления в
магнитном поле. Действительно, изменение их сопротивления в магнитном
поле заметно меньше, чем у других металлов, но не по порядку величины.
В нашем рассмотрении мы пренебрегали эффектами, возникающими вследствие
квантового характера движения электронов. При
*) В работе И. Лифшица, М. Азбеля и М. Каганова [80] проведено очень
интересное исследование гальваномагнитных явлений в металлах с
произвольной зависимостью Е (к) в предположении больших магнитных полей.
Результаты существенно зависят от характера энергетических поверхностей в
зоне размытия распределения Ферми (см. примечание на стр. 178). Основные
закономерности, полученные в работе, сводятся к следующему:
а. Существенны только замкнутые траектории.
В общем случае электрическое поле Холла пропорционально Я, как и в
изотропной модели. В случае, когда замкнутые траектории образованы
сечениями замкнутых энергетических поверхностей, константа Холла не
зависит от направления поля н определяется только разностью чисел
электронов (возбуждений ся*>0) и дырок (т*<0). Если же эти траектории
являются сечениями открытых поверхностей, то константа Холла сильно
зависит от направления поля. Изменение сопротивления в магнитном поле
стремится к насыщению при увеличении поля, причем в любом случае оно
сильно зависит от направления поля.
В особом случае, когда имеются только замкнутые поверхности, причем числа
электронов и дырок равны между собой, электрическое поле,
перпендикулярное к току (это не совсем то, что называется полем Холла;
последнее определяется как у [/^ (Я) - /j_ (- Я)]), содержит члены,
пропорциональные Я2. Сопротивление не стремится к насыщению, а растет с
увеличением поля пропорционально Я> во всей области практически
достижимых полей.
б. В зоне размытия распределения Ферми при заданном направлении поля
имеются открытые траектории. В этом случае сопротивление стремится к
насыщению с увеличением поля, и то же самое относится к полю Р., Если же
