Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
орбитами. Однако их учет приводит также к появлению смешанного члена,
зависящего и от функции Е (к) и от переходов к другим полосам; этот член
не имеет аналога ни в случае изолированного атома, ни в случае свободных
электронов Обычно считалось, что недиагональные члены дадут постоянную
восприимчивость, имеющую порядок величины восприимчивости отдельных
атомов, и поэтому в случае исключительно сильного диамагнетизма, как,
например, у висмута, при рассмотрении эффекта де Гааза- ван Альфена они
будут несущественными.
1) Изложенные здесь закономерности становятся особенно понятными
благодаря анализу, проведенному И. Лифшицем, М. Азбелем и М. Кагановым
[80] в квазиклассическом приближении, которое в данном случае является
достаточным для решения задачи. При этом траектории электронов
удовлетворяют уравнениям Е (k) = const, кг = const (магнитное поле
направлено по оси г), иначе говоря, траектории представляют собой сечения
энергетических поверхностей плоскостями, перпендикулярными к направлению
магнитного поля. Для свободного электрона энергетическая поверхность
представляет собой сферу, и все ее плоские сечения - окружности. Однако в
том случае, когда электрон находится в периодическом поле, поверхность Е
(k) = const может быть периодической поверхностью весьма общего вида. В
частности, это может быть не набор замкнутых поверхностей, например сфер,
а какая-то незамкнутая поверхность. Например, иа фиг. 9 поверхность,
изображаемая квадратом, в действительности незамкнута.
Если рассматривать определенную энергетическую полосу, то нетрудно
видеть, что при переходе от дна полосы, где поверхности Е (к) =" const
являются замкнутыми, окружающими область с меньшими энергиями, к верху
полосы, где имеются также замкнутые поверхности, но окружающие область с
большей энергией, обязательно возникнет одна или целый слой открытых
поверхностей. В таких случаях некоторые плоские сечеиия будут
представлять собой незамкнутые кривые, и при соответствующих направлениях
поля эффект де Гааза - ван Альфена будет отсутствовать (подробности см. в
оригинальной статье [80]). - Прим. перев.
180
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МВТАЛЛОВ
Однако недавно Адамс [1] указал, что если малая эффективная масса обязана
малой щели между двумя энергетическими полосами, как предполагается в
теории структуры висмута, предложенной Джонсом, то недиагональные члены
могут также оказаться исключительно большими, поскольку в этом случае
переходы в другие полосы связаны лишь с незначительными изменениями
энергии. Пока еще невозможно оценить общую величину вклада, вносимого
этими членами, или выяснить, могут ли они влиять на осциллирующие части
восприимчивости.
Имеется еще одна очевидная трудность. Дискретный характер энергетических
уровней, который мы предполагали в § 2, связан с тем фактом, что
классические электронные орбиты периодичны. Если же электроны подвержены
столкновениям, то их орбиты уже не будут периодическими, если только
время столкновений не будет больше периода. Это может возбудить сомнение
в правильности всех наших результатов, за исключением того случая, когда
т >> 1 /Q, т. е.
(7.47)
Однако, как было показано Пайерлсом [52], в действительности столкновения
не влияют на постоянную часть восприимчивости, если только
\ С kT. (7.48)
Это условие в общем случае гораздо слабее, чем (7.47), и всегда
удовлетворяется, кроме области высоких температур (см. гл. 6, § 8). На
самом деле условие (7.48) почти наверняка не является необходимым для
того, чтобы была пригодной формула постоянной восприимчивости, и в этом
случае достаточно условия
(7-49)
Это утверждение, кажется, еще не было доказано. Если оно справедливо, то
оно сделало бы несущественными столкновения при всех температурах; этот
вывод может оказаться неверным лишь в случае очень плохих проводников с
малым числом электронов проводимости.
Для эффекта де Гааза - ван Альфена условие (7.48), вероятно, существенно,
так как расширение уровней вследствие столкновений, как указано Динглем
[19], эквивалентно возрастанию температуры.
§ 4. Эффект Холла и сопротивление в магнитном поле
При обсуждении влияния магнитного поля на явления переноса мы опять
опустим недиагональные члены. Если мы введем вектор к с некоммутирующими
компонентами, то из перестановочных соотно-
§ 4. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И СОПРОТИВЛЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
181
шений (7.42) следует, что
еН дБ __ еН
Ь*с дгу~ he V"'
еН дЕ еН W<hZ~~hcVx'
(7.50)
где магнитное поле Я считается направленным по оси z. Здесь v опять
является функцией, которая определяется выражением (4.41) с аргументом х.
Мы можем описывать электроны как волновые пакеты, в которых приближенно
фиксированы значения %х и гу\ такая процедура будет адекватной для
статистического описания, если только протяженность таких волновых
пакетов в к-пространстве мала по сравнению с граничной областью, что по
порядку величины сводится к условию
Принимая это условие, мы теперь можем заменить х его средним значением по
