Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
мала.
Из качественного рассмотрения можно видеть, что найденная нами постоянная
восприимчивость возникает как следствие того факта, что энергетические
уровни (7.20) сближаются. В то время как средняя плотность уровней не
зависит от Я, число электронов, которые могут быть помещены ниже какого-
либо заданного уровня, зависит от того, совпадает ли этот уровень с одним
из собственных значений или попадает между ними. В среднем мы
"проигрываем", так как вблизи ? = 0 мы всегда начинаем с пустого
промежутка. Следовательно, в среднем энергия электронов в поле больше,
чем без него.
Легко видеть, что диамагнитный момент Му численно равен Vs парамагнитного
момента (7.5), если последний вычислен также для свободных электронов.
Это утверждение справедливо не только для сильно вырожденного ферми-газа,
но и для промежуточного случая, а также для предельного, соответствующего
статистике Больцмана.
Если бы нам было нужно определить только ту часть момента, которая
пропорциональна Я, то математический расчет мог бы быть несколько более
простым. Теперь мы вычислим остающийся член в формуле (7.30), который
представляет особый интерес в случае низких температур. Мы предположим,
что величина 2цЯ не удовлетворяет неравенству (7.31), а имеет тот же
порядок, что и kT. Однако мы сохраним предположение (7.29), чтобы верхний
предел интеграла в (7.30) можно было брать равным бесконечности. При этом
для первого члена получим
1 - / 3 1 2r.ih
4 8*3 Л*- '
что дает еще один член в свободной энергии
F.-ф-"' {J
(7.39)
где символ Re означает, что от стоящего справа от него выражения берется
действительная часть.
Интеграл легко вычислить в комплексной плоскости при помощи смещения пути
интегрирования в сторону бесконечно больших
ГЛ. 7. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ
положительных мнимых значений с учетом полюсов в точках (2л -|- 1) тс/.
Результат имеет вид
i( 2я1",-(п/4)) 2тсЩ
sh 2я2/0 •
Для свободной энергии на единицу объема это дает
D Y2mu(^Hf'*kT V / 1Ni cos [(*У|*#) -(я/4)]
Г2-----------^ ^ sh (^.kT^H) ' <¦'
1=1
Осциллирующий характер этого выражения, очевидно, связан с тем, что в
процессе изменения поля граничная область распределения Ферми иногда
будет близка к одному из дискретных уровней, а иногда будет находиться
между двумя уровнями. Знаменатель быстро увеличивается при увеличении
kT/2/Н. При расчете магнитного момента по. формуле (7.8) важно учесть
изменения ц в зависимости от Я, так как функция F2 очень чувствительна к
малым изменениям в т).
Из полученной формулы ясно, что аномальную часть диамагнетизма очень
трудно наблюдать, так как для того, чтобы сделать знаменатель первого
члена равным по крайней мере sh 3, нужно наложить поле 80 ООО гаусс при
2° К. Кроме того, при ц - 2 эв аргумент в первом косинусе в (7.40) будет
при этом значении поля иметь величину порядка 104, так что для наблюдения
эффекта необходимо было бы поддерживать постоянство поля с точностью,
большей 0,0001. В дальнейшем мы увидим, что для электронов в решетке
положение в некоторых случаях заметно облегчается.
§ 3. Влияние периодического поля
Теперь интересно рассмотреть, как меняется диамагнетизм, если вместо
свободных электронов мы рассматриваем электроны в периодическом поле. В
этом случае мы должны включить в уравнение Шредингера (7.13) член с
потенциальной энергией. Далее, так как сила, действующая со стороны
магнитного поля, всегда мала по сравнению с силой, создаваемой
потенциалом решетки V (г), то может показаться, что следует начать с
решения задачи без магнитного поля и рассматривать затем магнитные члены
как малое возмущение. Недопустимость этого очевидна из того факта, что
даже в присутствии периодического поля орбиты частиц будут замкнуты и
энергетические уровни, очевидно, будут дискретными. Возмущение, которое
превращает непрерывный спектр в дискретный, не может рассматриваться как
малое возмущение. Действительно, то обстоятельство, что Я в формуле
(7.13) умножается на х, означает, что на большом расстоянии от начала
координат этот член очень велик.
В качестве начала координат мы можем выбрать произвольную точку, например
центр n-й ячейки решетки. При этом нужно соот-
§ 3. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПОЛЯ
175
ветственным образом изменить векторный потенциал (7.12). Волновая функция
вместо ф(г) тогда принимает вид
где хл обозначает jf-компоненту ап. Функция (7.41) вблизи ап
удовлетворяет уравнению, которое очень мало отличается от уравнения без
магнитного поля, и поэтому в окрестности этой точки она будет близка к
комбинации собственных функций без поля.
В этом заключается основная идея приближения, которое может быть
применено целым рядом способов к решению уравнения. Первый шаг при этом
состоит в том, что функция (7.41) в n-й ячейке берется в виде комбинации
электронных состояний, принадлежащих к той же самой полосе. Изменение
волновой функции в магнитном поле приведет к участию и других полос. Эго
означает, что в ряду, представляющем волновую функцию атома, находящегося
