Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
образом, появится амплитуда A(nv п2), которая определена только для п1 Ф
п2, мы можем также считать, что < п2. При этом уравнение (8.23) принимает
вид
sA(nv п2) - ^[АА("1, пг) - А("t + 1, п2) - A fa - 1, "2)~
- А fa, ге2 + 1) - A fa, п2 - 1)] (ге2 Ф nt +1), (8.27а)
&А(га, п-\- 1) = y [2А(га, п-\- 1) - А(п-1, га+1)-А(п, re-j-2)].
(8.276)
Правая сторона уравнения (8.27а) представляет собой сумму двух
операторов, из которых первый действует только на nv а второй - только на
п2, и, следовательно, мы можем найти решение этого уравнения в виде
произведения
giадм eiag,n,i (8.28)
но это решение не будет удовлетворять (8.276). Однако мы можем
удовлетворить и последнему требованию, комбинируя два решения типа (8.28)
с подходящими коэффициентами. Это положение может быть интерпретировано
следующим образом. Формула (8.28) описывает два отдельных "неправильных
спина", или две "спиновые волны", движущиеся вдоль цепочки. Мы можем
образовать почти стационарное состояние, формируя волновые пакеты для
каждого из двух спинов, и если они достаточно хорошо разделены, то
амплитуда ^4 ("1" п2) обращается в нуль вблизи га1 = га2. и поэтому
уравнение (8.276) оказывается ненужным. Однако оба волновых пакета будут
перемещаться со скоростью, которая, очевидно, равна групповой скорости
z'(gr)==T'fi=='X'sinSa- (8,29>
!9в
ГЛ. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Эти скорости в общем случае будут различными, и, следовательно, обе
спиновых волны через некоторое время встретятся. Поправка, происходящая
от уравнения (8.276), приводит к рассеянию. Для этого процесса рассеяния
трансляционная инвариантность задачи (совершенно аналогично предыдущим
задачам о столкновениях) приводит к уравнению
где величина К в рассматриваемом линейном случае равна либо О, либо 2и/а.
Однако решения типа (8.28) с действительными gt и g2 являются не
единственными решениями уравнения (8.27а), которые имеют физический
смысл. Это связано с тем, что по определению разность га2 - п1
положительна, и если мы припишем g1 и g2 равные по величине и
противоположные по знаку мнимые части, то это приведет к решению, которое
экспоненциально убывает при увеличении ге2-п1. Таким образом получается
решение вида
где Ь имеет положительную действительную часть. Подстановка этой формулы
в уравнения (8.27) после простых вычислений приводит к соотношениям
Каждому значению О соответствует лишь одно решение; его энергия
положительна, но отличается на множитель cos2(Qa/2) от наименьшей энергии
двух отдельных спиновых волн, волновые векторы которых в сумме составляют
20; величина этой энергии, согласно формуле (8.26), равна 8f sina(0a/2).
Решение (8.31) Бете назвал (см. книгу Бете и Зоммерфельда [6]) "спиновым
комплексом*. Оно представляет состояние, в котором два "неправильных*
спина связаны. Так как параллельное расположение смежных спинов более
выгодно, можно считать, что образование двух неправильных спинов требует
меньшей энергии, если они находятся близко друг от друга. Но так как
всего имеется N возможных значений О и, следовательно, N таких связанных
состояний, то они статистически "невесомы* по сравнению со "свободными*
решениями типа (8.28), число которых практически равно №.
Для еще меньших значений т, т. е. большого количества "неправильных*
спинов, мы опять находим состояния, содержащие только свободные спиновые
волны, рассеивающиеся друг на друге при столкновениях, а также спиновые
комплексы различной величины, которые также могут рассеиваться друг на
друге и на отдельных спинах.
(8.30)
A (nv ге2) == const • eiG^+n'1-ba (".-4
(8.31)
(8.32)
I 3. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ И ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
197
Бете показал, как построить обшее решение, но поскольку обобщить это
решение на двумерный или трехмерный случай оказалось невозможно, то мы не
станем обсуждать подробности такого решения.
Все найденные нами решения обладают энергиями 8>0, т. е. не меньшими, чем
энергия полностью намагниченного состояния m=N. Это свидетельствует об
отсутствии уровней с отрицательными в. Правильность такого заключения
может быть подтверждена при помощи следующего рассуждения. Пусть
существует один уровень с отрицательным в. В соответствующей функции
состояния (8.11) выберем коэффициент с наибольшим модулем. Такой
коэффициент должен существовать, так как число коэффициентов конечно.
Если несколько коэффициентов имеют одинаковые модули, то мы можем выбрать
один из них. Пусть этот коэффициент относится к размещению {;*(1)}.
Тогда, согласно уравнению (8.23), можно написать
^{1*(1,}[1-(лг=7й] = Л* <8-33>
где, как и раньше, N - г есть число пар смежных противоположных спинов и
А означает среднее арифметическое от всех коэффициентов, имеющихся в
правой части уравнения (8.23). Если г отрицательно, то множитель в левой
стороне больше единицы и, следовательно,
И|>И {!!<"} |.
Поэтому в определении среднего должен принимать участие коэффициент по
модулю, больший Это противоречит исходному
предположению. Отсюда мы заключаем, что ни одно состояние не обладает
