Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
излучение не имеет места, так как нет электрона, который мог бы потерять
столь большую энергию. Как было впервые показано Блохом, это объясняет,
почему сопротивление идеального металла стремится к нулю при Т->0,
несмотря на нулевые колебания решетки, которые связаны с возможностью
испускания фононов. В этом отношении положение радикально отличается от
того, которое имеет место при рассеянии рентгеновских лучей (см. гл. 3);
в том случае мы видели, что нулевые колебания дают конечное случайное
рассеяние даже при Т - 0. Эта разница возникает вследствие того, что в
задаче о проводимости сами электроны находятся почти в равновесии при
низкой температуре, так что процессы с большой передачей энергии от
электронов к решетке исключаются.
Время столкновений можно теперь определить следующим образом.
Для заданного электронного состояния к можно написать энергетическое
уравнение, применяя при этом также условие (6.46) для волнового вектора
при К = 0:
E(k + f) - E(k) - fie>(f, s) = 0,
или с точностью до величин первого порядка малости
М • v (к) - йш (f, s) = 0. (6.77)
Если не учитывать это условие, то число значений f с абсолютной величиной
в интервале от / до равно
Однако эти значения J будут в общем случае нарушать энергетическое
условие (6.77) на величину порядка bfv, где v - скорость электрона и
поэтому 8-функция в уравнении (6.49) уменьшит число допустимых значений
/, так что последнее станет равным
Так как, согласно (6.61), квадрат матричного элемента содержит множитель
ш, который для малых / также пропорционален /, мы видим,
§ 7. НИЗКИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
159
что фононы с волновыми векторами, меньшими /, дают в (6.49) часть,
пропорциональную /8. Далее, столкновения, в которых Acu (f, s) превышает
kT, очень редки, так что частота столкновений пропорциональна Т3.
Это, однако, не означает, что сопротивление будет пропорционально Г8, так
как малые / означают также малые отклонения электронов. Мы видели, что,
согласно формуле (6.21), эффективность рассеяния на малые углы
пропорциональна квадрату угла, и так как в настоящей задаче угол
пропорционален /, а следовательно, и kT, то мы можем ожидать, что
сопротивление будет пропорционально Г6.
Формула для сопротивления, находящаяся в согласии с этим асимптотическим
законом, была выведена Блохом в предположении об изотропии электронного
движения. При этом он рассматривал упругие волны в изотропной непрерывной
среде с некоторой максимальной частотой, как и в модели Дебая, и считал,
что фононы всегда находятся в равновесии. Блох считал также, что
константа С в формуле (6.61) постоянна для продольных упругих волн и
равна нулю для поперечных волн. Результат связывает коэффициент при Т3 в
формуле для низких температур с коэффициентом в линейном законе для
высоких температур и дебаевской температурой 0. Это соотношение
оказывается в лучшем согласии с экспериментом, чем можно было бы ожидать,
принимая во внимание то большое количество приближений, которое лежит в
его основе.
Это особенно проявляется в том обстоятельстве, что время столкновений
фононов с фононами очень быстро возрастает при низких температурах.
Теплопроводность неметаллических кристаллов изменяется по крайней мере по
закону 1/Г, пригодному при высоких температурах. Так как теплоемкость
уменьшается пропорционально Г8, то это означает, что время столкновений
увеличивается по крайней мере, как 1/Г4. С другой стороны, отношение
числа фононов к числу электронов в граничной области пропорционально Г9.
Мы видели, что частота столкновений фононов с электронами, приходящаяся
на один электрон, пропорциональна Г8 и ввиду этого та же частота,
отнесенная к одному фонону, пропорциональна Г. (Множитель,
соответствующий малости отклонения, здесь не появляется; хотя
столкновение приводит к очень малому отклонению электрона, оно имеет
следствием либр полное исчезновение фотона, либо создание нового фонона.)
Важным моментом является то обстоятельство, что, как мы видели в гл. 2, §
4, столкновения, при которых меняется полный волновой вектор фононов
(столкновения с перебросом), очень редки при низких температурах. Если
взаимодействие электронов с фононами не приведет к таким процессам, то
равновесие зависит от фонон-фононных столкновений с перебросом, и мы
могли бы ожидать, что сопротивление будет экспоненциально уменьшаться при
низких температурах.
Поэтому очень важно рассмотреть столкновения с перебросом, т. е. такие,
для которых в условии (6.46) К ф 0. Так как при низких
160
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
температурах / должно быть мало для всех столкновений, то мы видим, что
разность к - к' должна приблизительно равняться К, т. е. начальное и
конечное состояния должны быть почти эквивалентными. Это означает, что
вектор к должен лежать вблизи границы зоны, а к' - вблизи противоположной
границы.
В частном случае полосы, имеющей минимум энергии вблизи к = О и
содержащей малое число электронов, состояния вблизи границы зоны являются
