Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
образом, чтобы вектор К в (6.46) всегда бы равнялся нулю, как это
действительно имело место для электрона, взаимодействующего с непрерывной
упругой средой, то мы имели бы еще одно решение, а именно
которое возникает вследствие закона сохранения полного волнового вектора.
Распределение, модифицированное благодаря добавке (6.58), очевидно,
соответствует наличию тока, так что в этих условиях ток мог бы
сохраняться и в отсутствие электрического поля и мы имели бы бесконечную
проводимость. Отсюда следует, что наличие процессов с К?=0, или
процессов, связанных с нерегулярностями иной природы, нежели электронно-
фононные соударения, имеет жизненно важное значение для электрического
сопротивления.
Положение является очень похожим на то, которое имело место для
теплопроводности неметаллических кристаллов, рассмотренной в гл. 2, § 4.
Кривые, приведенные на фиг. 14, иллюстрируют возможные столкновения для
одномерного случая. Сплошная линия соответствует
кривой Е (к) для одной полосы, а пунктирные линии изображают спектр
частот fi<o(f) для заданной поляризации, причем за начало координат взята
какая-либо точка на электронной энергетической кривой. Очевидно, что
пересечение двух кривых отвечает условию (6.46) и уравнениям сохранения
энергии. Диаграмма выполнена в неправильном масштабе, так как в
большинстве металлов энергии фононов значительно меньше электронных
энергий, что неудобно для изображения.
На фиг. 14 показаны три случая. Если электрон находится сначала в точке
А1( то он может перейти в ku и в этом случае условие лля волновых
векторов (6.46) будет удовлетворяться при К = 0.
g=lkx, G = \fx,
(6.58)
Фиг. 14.
Фиг. 14а.
152
ГЛ. б. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В случаях и kg разность k' - k превышает размеры основной ячейки, так что
в обоих случаях
В частности, в третьем случае / мало. Вспоминая, что область возможных
значений k была выбрана чисто условно, мы видим, что более удобно
изобразить последний случай на диаграмме типа приведенной на фиг. 14а,
где верхняя часть предыдущей фиг. 14 изображена как функция волновых
векторов, лежащих между 0 и 2к/а. Это представление, которое особенно
хорошо, когда мы имеем дело с почти заполненной полосой, совершенно
эквивалентно предыдущему, но вектор обратной решетки в (6.46) в каждом
случае имёет различное значение. Если окажется, что не происходит
столкновений, которые требовали бы не равного нулю К в этом представлении
(или при любом другом определении k), то мы опять получали бы бес*
конечную проводимость. Стационарное неравновесное распределение,
естественно, выглядело бы в новом представлении подобно (6.58).
В заключение этого параграфа мы произведем оценку матричного элемента
(6.48). В него входит величина (г) - изменение потенциала, обязанное
бесконечно малому смещению атома. Разумно предположить, что при смещении
атомов его поле просто смещается целиком вместе с ним, и в этом случае
где Uj - потенциал атома. Подставляя (6.59) в интеграл, стоящий в
выражении (6.48), мы видим, что в случае k = k', 1 = 1' он должен
обратиться в нуль, так как в него входит множитель
Вследствие периодичности квадрата волновой функции (теорема Блоха) мы
можем заменить здесь потенциал ячейки средним по всем ячейкам, и в этом
случае формула (6.60) представляет изменение энергии электрона при
бесконечно малом смещении всей решетки, которое, естественно, должно
равняться нулю. Следовательно, для 1 = 1' интеграл в (6.48) обращается в
нуль в предельном случае длинных акустических волн, для которых наряду с
f -0 выполняется также равенство o>(f, s) = 0. Это будет важно для нас в
дальнейшем. При 1Ф1', т. е. при переходах из одной полосы в другую,
случай со = 0 не осуществляется, так как два состояния в различных
полосах с одним и тем же волновым вектором имеют разные энергии, и
поэтому равенство в) = 0 противоречит энергетическому уравнению.
Ввиду этого разумно предположить, что при ш (f, s) - 0 интеграл
обращается в нуль, а при малых частотах он пропорционален ш.
W^(r) = grad Uj(r),
(6.59)
(6.60)
§ 5. СТОЛКНОВЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ
153
Таким образом, если вместо (6.48) мы напишем
(к', /' | Л | к, I, s) = (k', /' |С| к, I, s)Vo>(f, s), (6.61)
то новая величина С скорее всего меняется по порядку величины меньше, чем
Л, и во всяком случае она стремится к константе при "->О, хотя этот
предел может в общем случае зависеть от направления f, от состояния к и
от поляризации 5.
Для очень грубой оценки порядка величины мы можем рассматривать С как
константу. Интеграл (6.48) имеет размерность энергии, деленной на
смещение, и так как он описывает влияние смещения атомов только в одной
из N ячеек, то мы можем считать, что он имеет величину порядка Dm/Naw0,
где а-расстояние между атомами, D - электронная энергия порядка ширины
полосы, а о>0 - максимальная частота колебаний, введенная в гл. 2, § 1,
При этом по порядку величины
В классической электронной теории металлов влияние столкновений между
