Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приняв, что а имеет величину порядка 2*10~8 см и Dsa2 эв, мы приходим к
выводу, что частота столкновений при комнатной температуре равна 5 • 1011
сек.-1.
Из дальнейшего будет ясно, что эта величина заметно меньше частоты
столкновений, вызванных другими причинами,
156
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 6. Столкновения при высоких температурах
Если температура значительно выше характеристической дебаев-ской
температуры в и, следовательно, величина kT велика по сравнению с й(1>
для всех упругих волн, то задача значительно упрощается. Во-первых, при
этом в общем случае можно утверждать, что столкновения между фононами
достаточно часты для того, чтобы поддерживать равновесное фононное
распределение; это мы докажем позже. Поэтому мы можем положить в (6.54) О
= 0 и вообще не пользоваться уравнением (6.55). Более того, энергия
фононов всегда мала по сравнению с энергией электронов, так что мы можем
рассматривать столкновения как упругие. Мы можем также считать 7 в
уравнении (6.54) малой величиной, так что г' можно заменить на е, а (ет-
1) - на 7. Если мы теперь учтем внешнее электрическое поле [см. (5.9)] и
представим величину матричного элемента согласно формуле (6.61), то мы
придем к соотношению
§ 2 \С\Ч{Е'-Е){?-g)kT=eFvx. (6.72)
k', V, о
Множитель 2 появляется здесь вследствие того, что мы сложили поглощение и
излучение, поэтому поляризационное число s принимает теперь только
положительные значения.
Уравнение (6.72) - это интегральное уравнение с интегралом по
энергетической поверхности. Уравнение такого типа было рассмотрено в § 1
настоящей главы. При этом, в частности, была показана справедливость
закона Видемана - Франца и других следствий теории, основанных на
представлении о времени столкновений в том случае, если все столкновения
могли считаться упругими.
Далее, мы видим, что в левой части уравнения (6.72) температура входит
только в виде множителя kT и что поэтому решение этого интегрального
уравнения g(k) обратно пропорционально температуре. Это хорошо известный
из опыта закон для чистых металлов при высоких температурах.
Если нельзя пренебречь загрязнениями и нарушениями решетки, то в левой
части уравнения мы должны учесть соответствующие столкновения. Части
сопротивления, происходящие от столкновений различного типа, будут
аддитивными, если функция g, являющаяся решением уравнения для каждого
типа столкновения, одна и та же во всех случаях. Это утверждение
правильно, если представление о времени столкновений применимо к обоим
типам столкновений" а также в случае изотропии. В общем случае отклонения
от адди-* тивности вряд ли будут велики.
Чтобы оценить порядок величины проводимости, мы будем считать величину С
в (6.72) константой. В этом случае интегральному
i 6. СТОЛКНОВЕНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
157
уравнению удовлетворяет функция
g= eFvx т.
При этом член с g' обращается в нуль вследствие симметрии. Время
столкновений т равно
<6-73>
Используя оценку (6.62) для С, мы получим
2РЧТ dZ Йй2Шдр dE
где вместо M{N> мы подставили массу единицы объема, равную плотности р.
По порядку величины dZjdE равно Z/D, a p/Z - массе атома М. Так как Ма2ш2
есть потенциальная энергия смещения атома на расстояние а, то она опять
имеет порядок электронной энергии, т. е. D. Это дает окончательно
следующую грубую оценку:
Т~Т- (6-74)
Полученная формула дает правильную по порядку величины проводимость
нормального металла. Если принять оценку (6.71), то формула показывает
также, что электронные соударения несущественны.
Остается только доказать правильность предположения о том, что колебания
решетки поддерживаются в состоянии равновесия благодаря взаимодействию
фононов. Это означает, что фонон сталкивается с другими фононами чаще,
чем с электронами.
Мы можем оценить среднее время столкновения для фонона при помощи
уравнения (6.50) тем же способом, каким мы выводили формулу (6.73). В
результате находим
(6.75)
и, следовательно,' из (6.73) получаем
т* "
'/to*
-. (6.76)
Если принять т8. ~ 10-13, то получим для Тф. э. значение порядка 10-11*
Это значение следовало бы сравнить с временем столкновения фононов друг с
другом, которое может быть оценено из теплопроводности неметаллических
кристаллов и при комнатной температуре
также имеет порядок 10-13 сек. Поэтому естественно предположить, что
фононы находятся в равновесии.
158
ГЛ. в. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 7. Низкие температуры
Задача становится значительно более сложной, когда температура сравнима с
дебаевской температурой в, и мы обсудим только предельный случай, а
именно случай, когда в. При этом мы уже не можем пренебрегать передачей
энергии при столкновениях, так как для столкновений, существенных в
данной задаче, величина передаваемой энергии оказывается порядка kT.
Теперь в уравнениях (6.54) и (6.55) играют роль только малые значения f,
для которых fio) имеет величину самое большее порядка kT. Если со больше,
то поглощение таких фононов не происходит, так как их число очень мало, а
