Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (6.13) и все последующие уравнения продолжают оставаться
справедливыми, если мы заменим т на Тр что, в соответствии с (6.20), дает
i-= f (1-cos0)w(0)rfQ. (6.21)
"l J
Это показывает, что эффективность рассеяния на малые углы пропорциональна
квадрату угла, - заключение, относящееся не только к изотропному случаю,
который здесь рассматривался.
В общем анизотропном случае можно отыскать характеристические отклонения,
экспоненциально спадающие со временем, но в этом случае возмущение,
вызванное внешним полем, будет смесью различных характеристических
возмущений, и рассмотрение станет более сложным.
Уравнения этого параграфа могут быть сохранены даже для этого общего
случая, если только мы опять будем интерпретировать величину т как
среднее значение. Эта величина будет теперь зависеть от изменения
величины, стоящей в правой части уравнения (6.13) вдоль энергетической
поверхности, а также от весового множителя, используемого при любом
усреднении типа (6.14) и для нахождения которого требуется знание функции
распределения.
§ 2. Теплопроводность
Если, кроме электрического поля, имеется также градиент температуры, то
мы получаем следующую добавку к изменению числа электронов:
<6-22)
Использование функций распределения, зависящих не только от волнового
вектора, но и от координат, может быть понято, если применять волновые
пакеты, в том смысле, в каком они рассматриваются
в гл. 2, § 4. Используя опять представление (6.11) и пренебрегая
членами второго порядка по градиенту температуры, вместо (6.13) получим
следующее уравнение:
¦"["iOO - "il= - eFvx%- T?vxW' <6-23>
Определяя опять, так же как и в (6.14), плотность тока и вычисляя поток
энергии
Sx = 2 J vj-tii р dE da, (6.24)
142
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
находим уравнения
s.-( '
Несмотря на то, что при выводе этих уравнений мы использовали
представление о времени столкновений, их применимость в действительности
является очень общей. Это можно видеть из того обстоятельства, что
изменение двух членов в правой части (6.23) вдоль энергетической
поверхности одно и то же, а весовые множители, стоящие в (6.14) и (6.24),
отличаются функцией, зависящей только от энергии. Поэтому до тех пор,
пока мы имеем дело только с упругими столкновениями, в случае которых
электроны любой энергии по отдельности образуют стационарное
распределение, мы можем применять уравнения (6.25) с величиной т, имеющей
один и тот же смысл в обоих уравнениях.
При расчете вторых членов в (6.25) необходима некоторая осторожность, так
как интеграл по энергии от обращается в нуль
(полное число электронов не меняется с температурой). Если бы все
остальные множители в этих членах были постоянными, то они ничего бы не
внесли в (6.25), поэтому основную роль играет изменение этих множителей в
окрестности границы распределения /. Для рассматриваемых членов
существенное значение имеет зависящая от температуры часть интеграла
(4.50).
В результате простого вычисления находим
s.-2,F(4i?.g)-%§*чч[Ц^г(чг*]ч. (6'26)
При вычислении теплопроводности мы должны считать Jx = 0. Находя из этого
условия поле F, получаем
5-=-44i*w(§^),= -*fr- <6-27>
Сравнивая коэффициент теплопроводности х с проводимостью а, выражаемой
формулой (6.15), находим
в ~ 3<?а • (6.28)
Это известный закон Видемана - Франца.
Тот же закон, правда с другим постоянным множителем, может быть также
выведен из теории, использующей классическую статистику вместо статистики
Ферми - Дирака. Поэтому казалось удиви-
а г. СТАТИЧЕСКИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ. ПРИМЕСИ И НАРУШЕНИЯ РЕШЕТКИ 143
тельным, что с точностью до постоянного множителя закон Виде-мана -
Франца хорошо подтверждался на эксперименте; это создавало впечатление
применимости классической статистики, сог/асно которой электронный газ
должен был подчиняться закону равнораспределения для теплоемкости. В
действительности из простых размер-ностных рассуждений можно увидеть, что
при заданном числе электронов и времени столкновений теплопроводность
зависит от произведения средней квадратичной скорости на теплоемкость,
приходящуюся на один электрон. В случае вырожденного Ферми-газа первая
значительно больше, чем ее классическое значение ZkT/m, а вторая
соответственно меньше своего классического значения, так что произведение
имеет примерно ту же самую величину.
Из уравнения (6.25) можно также вычислить термоэлектрические
коэффициенты, но в этом случае в форму, е (6.26) нужно учесть и поправку
к первому члену, так как при этом существенно изменение подинтегрального
выражения в энергетическом интервале вблизи края распределения Ферми.
Приступая к рассмотрению механизма столкновений, мы обсудим сначала
случай, в котором причиной рассеяния является нерегулярный статический
потенциал. Это предположение, очевидно, охватывает случай чужеродных
атомов, заменяющих атомы решетки или находящихся в промежутках между
узлами, а также другие дефекты решетки. Влияние колебаний решетки
потребует отдельного рассмотрения.
