Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
к',1'
146
ГЛ. в. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Однако в выражении (6.37) множитель я (k', I) может также оказаться
быстро меняющейся функцией энергии. Это может случиться в том случае,
когда Е' находится вблизи ту, эта область изменения Е является наиболее
важной. В этом случае п значительно изменяется в интервале порядка kT.
Поэтому приближение, которое лежит в основе (6.39), годится только в том
случае, если этот интервал значительно больше ширины пика функции D, т.
е. если
АГ>у. (6.40)
С другой стороны, мы не можем сделать время t слишком большим, так как мы
использовали лишь первое приближение теории возмущений, которое наверняка
должно оказаться неприменимым, если промежуток времени достаточен для
того, чтобы электрон успел испытать второе столкновение. Поэтому t должно
быть меньше, чем время столкновений т, и, следовательно, мы должны
сделать второе предположение.
Предположение 2.
Y<kT. (6.41)
Для более коротких, чем в (6.40) промежутков времени, мы должны были бы
заменить 3-функцию в (6.39) более широким максимумом. Так как 8-функция
выражает сохранение энергии, то создается впечатление, что в течение
малых промежутков времени энергия может не сохраняться. Это неверно. Мы
должны помнить, что полная энергия включает, наряду с невозмущенной
энергией Е (к, /)> энергию возмущения. Из общих принципов следует, что
полная энергия всегда сохраняется точно, но она равна невозмущенной
энергии только спустя долгое время после того, как процесс столкновения
наверняка закончился. В этой связи мы можем интерпретировать h/kT как
продолжительность столкновения, а неравенство (6.41) считать условием
того, что продолжительность столкновения должна быть меньше, чем время
между последовательными столкновениями.
Типичным примером возмущения является замена некоторого количества атомов
в решетке чужеродными атомами. В этом случае применение первого
приближения теории возмущений, строго говоря, не является допустимым,
если только новые атомы не очень сходны с теми, которых они заменили. Нам
следовало бы применять вместо
(6.39) более точное выражение для вероятности рассеяния отдельным
центром. Это не изменит ни вид уравнения (6.39), ни пропорциональность
вероятности рассеяния числу центров.
Угловое распределение рассеянных электронов будет очень сложным. Однако
ввиду того, что рассеивающий центр имеет размеры порядка атомного радиуса
и эффективная длина волны электрона (2я/А)
8 4. ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
147
имеет тот же порядок величины (если только мы не имеем в виду почти
полную или почти пустую полосу), то мы можем ожидать, что отклонения на
большие углы происходят примерно так же часто, как и отклонения на малые
углы, а следовательно, имеет смысл произвести усреднение по направлениям
импульсов вдоль энергетической поверхности и использовать представление о
времени столкновений, введенное выше. Более точное рассмотрение
потребовало бы решения интегрального уравнения, но наши сведения об
энергетической поверхности и о вероятности рассеяния обычно недостаточны
для того, чтобы это было оправдано.
Аналогичным образом обстоит дело, когда в решетке имеются атомы в
промежутках между узлами или когда некоторых атомов недостает. Последние
два рода нарушений всегда встречаются в ограниченном количестве, но
замена атомов в некоторых случаях может дойти до такой степени, что чужие
атомы будут составлять значительную долю. Если в кристалле, состоящем из
атомов типа А, все большее количество будет заменяться атомами В, то в
конце концов мы приблизимся к чистой решетке типа В (если предполагать,
что не происходит изменения структуры), и в этом случае электроны опять
будут перемещаться без сопротивления. Эта задача была рассмотрена
Нордгеймом [49], который исходил из идеальной решетки с потенциалом,
равным среднему от потенциалов каждого типа, взятых с весами,
пропорциональным концентрациям атомов. В этом случае, рассматривая
отклонение от среднего потенциала как малое возмущение, легко показать,
что вероятность рассеяния пропорциональна с(1-с), где с - концентрация.
Этот закон во многих случаях хорошо согласуется с экспериментом. Как было
показано Моттом [42], типичные исключения из этого закона обязаны
изменению числа электронов и степени заполнения различных полос в
зависимости от концентрации.
Другие нарушения решетки, такие, как границы зерен и дислокации,
представляют значительные трудности для количественного рассмотрения.
§ 4. Влияние колебаний решетки. Общее рассмотрение
Если атомы смещены относительно своих положений в идеальной решетке, то
потенциал V (г) изменится на величину
W(г) = 2 W, (г - ап) • И..,. (6.42)
п ,j
Здесь Un,j - смещение атома п, j, как и в гл. 1, Wj характеризует
изменение потенциала при бесконечно малом смещении атома, которое, как
было показано, зависит только от положения точки г относительно ячейки п.
Члены второго и более высокого порядков по смещениям не учитываются.
