Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
этими силами, дает очень малую поправку.
После того, что было сказано в гл. 4, § 7 о двойных слоях на поверхности,
могло бы казаться, что при постановке задачи мы должны принимать во
внимание условия на поверхности. Однако это не так ввиду того, что
изменение условий на поверхности приведет только к образованию
электрического двойного слоя, что изменит внутренний электрический
потенциал на постоянную величину. Так как внутренняя область металла
электрически нейтральна, то это не вызовет какого-либо изменения в полной
энергии.
§ 2. Приближение Вигнера - Зейтца
Для расчета энергии, соответствующей дну полосы проводимости, которая в
предыдущем параграфе фигурировала под п. 1а, Вигнер и Зейтц развили
метод, особенно удобный для рассмотрения волновых функций, для которых к
= 0.
Рассмотрим две противоположные грани элементарной ячейки кристаллической
решетки. Условие периодичности (4.7) в этом случае означает, что функция
<|" и ее производная, взятые в соответственных точках на этих гранях,
должны быть равны. Если в дополнение к этому ячейка обладает зеркальной
симметрией по отношению к плоскости, расположенной посередине между этими
гранями, то отсюда следует, что производные по нормали к граням должны в
соответственных точках быть равны по абсолютной величине и иметь разные
знаки. Эти два требования, взятые вместе, приводят к тому, что
производная волновой функции к = 0, взятая по нормали к грани, обращается
в нуль на этих гранях, а следовательно, и на всей поверхности
элементарной ячейки.
Так как в наиболее важных типах металлических решеток, а именно в
объемноцентрированной и гранецентрированной кубических решетках, а также
в гексагональной плотной упаковке, граница элементарной ячейки является
поверхностью, обладающей высокой симметрией, то можно с хорошей точностью
заменить ее сферой с тем же объемом. Мы обозначим радиус этой сферы через
г0. Расстояния от центра точек, расположенных на истинной границе,
отличаются от г0 не более чем на 12%.
Если мы требуем в качестве граничного условия, чтобы производная от
волновой функции, взятая по нормали к поверхности сферы, равнялась нулю,
то задача будет обладать сферической симметрией и ее решением будет
волновая функция, зависящая только от г - рас-
126
ГЛ. 6. СИЛЫ СЦЕПЛЕНИЯ в МЕТАЛЛАХ
стояния от центра. Сравним теперь эту функцию с волновой функцией
изолированного атома. Для последней на расстояниях, больших г0, потенциал
является слабым, и волнозая функция принимает вид
Далее, хорошо известно (и может быть доказано с помощью исследования
радиального уравнения Шредингера), что уменьшение энергии
в атомных масштабах является очень малым. Если г0 сделать меньшим, то
изменение энергии будет еще меньше, и обратится в нуль, когда г0 совпадет
с точкой максимума.
Это уменьшение энергии, очевидно, связано с тем обстоятельством, что
электрон может "распространиться" на соседние ячейки, как это было
отмечено при качественном рассмотрении в предыдущем параграфе.
Таким образом, энергия низшего состояния в полосе может быть легко
получена при помощи численного интегрирования обыкновенного
дифференциального уравнения, если только известна потенциальная энергия.
В соответствии с общим рассмотрением, приведенным выше, мы можем ожидать,
что эта энергия уменьшается при уменьшении постоянной решетки (т. е. г0),
но при очень малых значениях постоянной решетки она должна проходить
через минимум, а затем возрастать.
Значительно труднее рассчитать энергии состояний, для которых волновой
вектор к Ф 0. В этом случае уже нельзя предполагать изотропию.
Приближенные выражения для зависимости энергии от к
(5.1)
где Е0-энергия электрона (отрицательная).
Поэтому для атомной волновой функции мы имеем
(5.2)
Фиг. 12.
приводит к удалению кривой для волновой функции от оси г, и поэтому ясно,
что для перехода от граничного условия (5.2) к нулевому наклону при г =
г0 требуется уменьшение энергии. Следовательно, при достаточно большом
значении га энергия уменьшается. Функции ф и <{<0 схематически изображены
на фиг. 12. Так как требуемое изменение кривизны происходит на большом
расстоянии и мало по сравнению с кривизной внутри атомной сердцевины, то
изменение энергии
§ 2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВИГНЕРА-ЗЕЙТЦА
12?
вычислялись неоднократно, но они являются слишком сложными, чтобы здесь
их описывать.
В гл. 4, § 5, было показано, что в случае малых к в кубическом кристалле
разность энергии Е (к)-Е (0) пропорциональна к'\ так что
E(k) = ?(0) + ^ft*, (5.3)
где т* - эффективная масса. Если это приближение пригодно для всех
состояний, занятых электронами прозодимости, то распределение энергий
увеличивает среднюю энергию, приходящуюся на один электрон, на величину
?(°)+ш-(3^/з> (5,4)
где п - число электронов проводимости на единицу объема (в этом случае
она совпадает с числом атомов).
Второй член в энергии (5.4) созтветствует отталкиванию, так
как
он возрастает при уменьшении расстояния между атомами. Эффек-
