Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 6
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 1. Общее рассмотрение. Время столкновений
Согласно изложенному в гл. 4, электрон в поле сил идеальной решетки имеет
стационарные состояния, в которых средняя скорость, а следовательно, и
средний перенос заряда и энергии не обращаются в нуль. Это означает, что
мы можем создать электрический ток и поток энергии без электрического
поля или градиента температуры, которые бы их поддерживали. Иными
словами, электрическое и тепловое сопротивления в идеальной решетке равны
нулю. Поэтому реальное сопротивление зависит от нарушений решетки,
которые совершенно несущественны для равновесных задач, рассматривавшихся
в гл. 4. Основными источниками таких нарушений являются: а) колебания
решетки, б) примеси и другие нарушения решетки, в) взаимодействие между
электронами. Для хорошего и чистого кристалла наиболее существенен первый
из этих эффектов, и это сразу объясняет тот известный факт, что
сопротивление идеального металла падает с уменьшением температуры и
стремится к нулю при Т = 0. Это
обстоятельство было одной из основных трудностей классической
электронной теории металлов.
Рассмотрение таких нарушений аналогично расчету явлений переноса в
кинетической теории газов, но природа взаимодействий и важность квантовых
эффектов вносят некоторые совершенно новые моменты.
Обычный подход к проблеме основан на расчете вероятности перехода
электрона из одного заданного состояния в другое за единицу времени.
Таким образом можно получить величину изменения со временем числа
электронов в любом заданном состоянии. Эта величина зависит от
распределения электронов по различным уровням, и стационарное
распределение определяется как распределение, не меняющееся со временем.
В некоторых случаях наличие тока отражается также и на колебаниях
решетки. При этом мы должны потребовать, чтобы число и
распределение фононов не менялись со
временем, т. е. получим две системы уравнений, которые определяют
электронное и фононное распределения.
Применяя такой подход, заимствованный из теории газов, мы делаем
определенные предположения, которые иногда трудно оправдать. Поэтому ниже
в ходе изложения мы всегда будем отмечать такие предположения, а потом
вернемся к возможным усовершенствованиям, которые можно было бы сделать
при более строгом рассмотрении.
$ 1. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ. ВРЕМЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
137
Для того чтобы лучше войти в курс дела, мы сначала получим уравнения,
которые соответствуют предположению о постоянной средней длине свободного
пробега в теории газов. Однако, поскольку скорость электрона не является
удобной переменной, то вместо длины пробега мы будем пользоваться
временем столкновений.
Наша простая картина базируется в этом случае на следующих
предположениях.
Электроны испытывают только упругие столкновения. Вероятность того, что в
единицу времени электрон испытает столкновение, равна 1/т (т называется
временем столкновений). Время столкновений может зависеть от энергии
электрона, но для данной энергии оно постоянно (независимо от направления
движения). После столкновения электрон может с одинаковой вероятностью
оказаться на любой части энергетической поверхности.
При этом среднее число электронов, переходящих из состояния к в некоторое
другое состояние к', пропорционально вероятности того, что состояние к
занято, а к' не занято (мы рассматриваем только электроны с заданным
направлением спина). Таким образом, это число равно
Вероятность обратного перехода из к' в к получается путем перемены
местами к и к', но коэффициент А остается тем же (закон детального
равновесия). Разность между этими двумя величинами дает нам полное число
электронов, перешедших из состояния к в состояние к7, которое оказывается
равным
А {п (k) [ 1 - п (к')] - п (к7) [ 1 - п (к)]} "=. А [л (к) - п (к7)].
(6.2)
Последний результат соответствует тому, что получилось бы без применения
принципа Паули. Таким образом, в этом случае при расчете столкновений нам
не обязательно учитывать принцип Паули.
Рассмотрим теперь все состояния с энергией между Е и Е -f- dE. Для
простоты мы будем считать, что все эти состояния входят в одну полосу, и
поэтому будем опускать индекс /, хотя это и не очень существенно. Число
состояний, соответствующих элементу энергетической поверхности do, равно
где L8 - объем кристалла, grad Е - градиент Е (к) в к-пространстве, a do
- элемент площади энергетической поверхности. Мы запишем выражение для dz
в виде
Ап (к) [ 1 -w(k7)].
(6.1)
(6.3)
dg<*.pdo dE,
(6.4)
138
ГЛ. в. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
J
где р - поверхностная плотность состояний, которая в общем случае
меняется вдоль поверхности. Введем обозначение
p<fo = S(E) = g, (6-5)
где последнее выражение обозначает полное число состояний на единицу
энергии, как и в гл. 4, § 6.
При этом уменьшение за единицу времени числа электронов в состоянии к в
результате столкновений равно
в то время как увеличение этого числа за счет переходов в состояние к из
