Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
других состояний, в связи с тем, что последние охватывают с равной
вероятностью весь энергетический слой, равно
Г п (к') р' da' 1 _
rs (6.6)
где п - среднее число электронов на одно состояние в энергетическом слое.
Полное изменение числа электронов в состоянии к равно
= к)-"1. (6.7)
Решение этого уравнения в отсутствие внешнего поля есть
"(к, ?) = rt-f-ln(k. 0) - л]е~</т. (6.8)
Любое начальное отклонение от однородности в слое спадает со временем
экспоненциально.
В электрическом поле, направленном по оси х, электроны движутся в ft-
пространстве согласно закону (4.42), и, следовательно, изменение п под
действием поля равно
eF да (k) ,с m
(6-9>
Складывая изменение под действием поля с тем, которое происходит от
столкновений, и требуя, чтобы распределение электронов было стационарным,
мы получаем "уравнение Больцмана"
Tl'"-"1 + TT-0- <6-10)
Поля, которые могут поддерживаться в металле, слабы, и мы можем
пренебречь членами, пропорциональными квадрату напряженности поля. В
противном случае нам следовало бы учитывать джоулево тепло, и мы вообще
не получили бы стационарных условий до тех
S 1. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ. ВРЕМЯ СТОЛКНОВЕНИИ
139
пор, пока не включали бы в явной форме механизм отвода тепла. Поэтому мы
примем, что
где /-распределение Ферми, a пх-малая величина первого порядка. При этом
с точностью до членов первого порядка уравнение (6.10) примет вид
Если мы усредним это уравнение по энергетической поверхности, то
выражение в левой части тождественно обратится в нуль; правая часть тоже
даст нуль. Действительно, согласно (4.12), энергия будет четной функцией
к, а поэтому скорость есть нечетная функция, и, следовательно, ее среднее
значение по энергетической поверхности должно равняться нулю.
Ввиду этого константа остается неопределенной. Этого следовало ожидать,
так как при учете лишь упругих столкновений полное число электронов
каждой энергии остается неизменным. Поэтому мы можем добавить к пг
произвольную функцию энергии. Последняя не будет участвовать в токе, а
потому несущественна для наших целей. Однако можно показать, что если
допустить некоторое число неупругих столкновений, то п, должно обратиться
в нуль.
Далее, плотность электрического тока, если считать объем металла за
единицу, равна
Множитель 2 учитывает два направления спина, vh-среднее значение V& по
энергетической поверхности.
Величина dfjdE обращается в нуль везде, кроме области шириной kT вблизи Е
= ц, а остальные множители в подинтегральном выражении в этой области
изменяются медленно. Поэтому мы можем заменить эти множители их
значениями при Е = т\, причем интеграл от dfjdE будет равен -1. Это даст
и путем очевидного обобщения на другие компоненты мы находим тензор
проводимости я •
"(к) =/(?) + "! (к),
(6.11)
(6.12)
или, используя для скорости выражение (4.41), получаем
\ [ nt (k) - Wj ] = - eFvx ^.
(6.13)
Jx = 2е f n1vxPdEdc=: - 2e*Ff (6.14)
(6.15)
140
ГЛ. 6. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Для кристалла с кубической симметрией это выражение можно заме* нить
следующим: " / -dZ\
<j=
В частном случае свободных электронов Z пропорционально ?^', так что
dZ/dE = 3Z/2E. Используя также то обстоятельство, что N=2Z в этом случае
равно полному числу электронов в единице объема и что vq вдоль
энергетической поверхности постоянно и равно 2Е/т, мы получаем хорошо
известный результат:
&Nx 1г?ч
о = - . (6.16)
Этот результат зависит от предположения о времени
столкновений.
Он, очевидно, справедлив для электронов, находящихся у дна
полосы,
если т заменить эффективной массой, а также для почти заполненной полосы,
если N означает число незанятых мест.
В случае сферической симметрии приведенный вывод может быть обобщен на
случай, когда электроны после каждого столкновения не распределены
однородно по энергетической поверхности и вероятность отклонения на
заданный угол меняется в зависимости от угла. В этом случае вместо (6.7)
мы можем написать уравнение
= JdQ'^(0)["(kO-"(к)], (6.17)
где интегрирование производится по сфере радиусом к, dQ - элемент
телесного угла, 0 - угол между к и к', a w(0) - дифференциальная
вероятность рассеяния.
Мы разложим п и да по сферическим гармоникам:
"(к) = 2 "гм Уim'
(r) (в)=2 2/+iPi (cos 0)' (618)
где коэффициенты птг и wl могут зависеть от абсолютной величины к.
Подставляя в (6.17) и используя свойства сферических гармоник, получаем
= 4* (Щ - Щ) "гто- (6-19)
Отклонение от однородности в угловом распределении электронов будет
экспоненциально уменьшаться со временем, если только оно состоит из
сферических гармоник определенного порядка. Однако соответствующий период
зависит теперь от порядка гармоники. Таким образом, мы можем написать
dtl'm 1
-#- = --"* "•
, г (6-20) - = 4it(wQ - wt) -- Г [i _ Pj(cos0)] w(Q)dQ.
I "
I 2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
141
В изотропном случае правая часть уравнения (6.13) зависит от угла только
через компоненту vx, которая пропорциональна соответствующей компоненте к
и, следовательно, сферической гармонике первого порядка. Поэтому
