Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
так как всегда можно найти тип искажения с таким значением г, чтобы
разрыв произошел на краю распределения Ферми или вблизи него.
132
ГЛ. S. СИЛЫ СЦЕПЛВНИЯ В МЕТАЛЛАХ
Выигрыш в энергии, а следовательно, и величина искажения, являются
наибольшими, когда г - малое число, иначе говоря, когда число электронов
проводимости находится в простом рациональном отношении к числу атомов.
Наиболее выгодный случай - это случай, когда край распределения Ферми
находится при А = я/2а. Если принять во внимание спин, то это
соответствует в точности одному электрону на атом. При этом г = 2, так
что каждый второй атом окажется смещенным, или, иными словами, атомы
собираются в пары. Это указывает на тенденцию к образованию молекулярных
решеток. Для любого другого числа электронов проводимости на один атом у
края распределения Ферми тоже может возникнуть разрыв, и таким образом
полоса разделится на какое-то число меньших полос, часть из которых будут
заполненными, а остальные пустыми.
Поэтому вполне вероятно, что одномерная модель вообще не может обладать
свойствами металла. Однако для полного решения этого вопроса надо принять
во внимание то обстоятельство, что, как было подчеркнуто выше (гл. 1, §
2), адиабатическое приближение не пригодно в случае металла. Поэтому,
делая физические выводы, основанные на использовании энергий,
рассчитанных в предположении покоящихся ядер, следует соблюдать большую
осторожность.
Рассмотрим величину матричного элемента (5.15). Смещение "-го атома ип
должно быть периодической функцией п с периодом г и поэтому может быть
написано в виде
"п = 2 (5Л6>
где суммирование ведется по всем значениям /, кратным 2тс/га, и где A_f =
Af. Если мы для простоты предположим, что при смещении иона его поле
смещается вместе с ним без каких-либо искажений,
и будем попрежнему через U(x) обозначать потенциал отдельного
иона, то, ограничиваясь членами первого порядка по смещениям, получаем
SV(x)= 2 W ix- па - вп) - и (х - па)\ -
Su"aU%;-"V-. (5.17)
П
Подставляя ип из (5.16), мы получаем сумму по различным значениям /. В
матричном элементе (5.15) один член такой суммы дает
Ar J] f dxe^dU{x-na) (5-18)
П
Меняя переменную интегрирования и вспоминая условие Блоха (4.7), мы
получаем
Af 2 **</•-*>" J* (*)<!>-k(x)dx. (5.19)
S 4. ИСКАЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА
133
Интеграл теперь не зависит от п, а поэтому сумма по п обращается в нуль,
если /-2k не является величиной, кратной 2-я/а. Так как нас интересует
матричный элемент, соответствующий k, определяемому формулой (5.14), то
всегда существует только одно значение /, для которого выполняется
указанное выше условие.
Соответствующий коэффициент Af непосредственно связан с амплитудой
рентгеновской диффракции для определенного брэгговского отражения.
Согласно (3.19), последняя содержит структурный фактор
S (5.20)
В случае искаженной решетки ячейка содержит г одинаковых атомов и
dj = na-\-Uj, j= 1,2 г.
Подставляя Uj, согласно (5.16), и разлагая экспоненту в ряд, мы находим,
что сумма равна
("+/¦)*". (5.21)
Г )=1
Если не принимать во внимание постоянный множитель, то мы можем
распространить суммирование на все атомы в цепочке, так как при значении
q, удовлетворяющем условию Брэгга для ячейки длиной га, суммируемое
выражение имеет период га. Для отражения заданного
порядка, т. е. для заданного q, существенен только тот член, для
которого / отличается от -q на величину, кратную 2^1 га. Таким
образом, для отражений, в которых q-\-2k кратно 2я/га, сумма
пропорциональна структурному фактору. Это, конечно, отражения, которые
возникают в искаженной цепочке, но исчезают для неискаженной.
Эффективность определенного типа смещений может поэтому измеряться
интенсивностью новых рентгеновских линий, которые при этом возникают.
§ 4. Искаженные структуры. Трехмерная задача
Легко видеть, что аналогичный эффект может иметь место в реальных
решетках. Однако получить его гораздо труднее, так как уменьшение
трансляционной симметрии приведет к поверхностям разрыва энергии, которые
являются плоскостями в к-пространстве, в то время как граница
распределения Ферми в отсутствие искажений является энергетической
поверхностью и потому в общем случае далека от плоскости.
Может случиться, что энергетическая поверхность лежит вблизи такой
системы плоскостей. Например, в простом рассуждении для
134
ГЛ. 5 СИЛЫ СЦЕПЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ
кубической объемноцентрированной решетки со взаимодействием только между
ближайшими соседями (см. гл. 4, § 2) мы обнаружили, что энергетическая
поверхность, соответствующая заполнению половины полосы (один электрон на
атом), была точным кубом. Этот куб является границей зоны для простой
кубической решетки с периодом а. Поэтому представляется возможным создать
энергетические щели на этой поверхности и, следовательно, уменьшить
полную энергию, вводя различия между центрами куба и его углами. Это
привело бы к структуре с трансляционной группой простой кубической
