Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
серьезным ошибкам. Казалось бы более последовательно было учитывать
электронную плотность в определении потенциала ячейки, но тогда один из
рассмотренных противоположных друг другу членов был бы рассчитан более
точно, чем другой, и результат оказался бы хуже.
Обзор таких расчетов не входит в нашу задачу. Отметим только, что они
дают хорошее согласие с наблюдаемыми на опыте константами металлов с
простой структурой.
Аналогичные методы были успешно применены для расчета упругих постоянных,
для чего за основу бралась решетка, подвергнутая небольшой деформации
сдвига. Эта операция нарушает приблизительную сферическую симметрию
элементарной ячейки, и поэтому рассмотрение граничного условия для к = 0
и расчет распределения энергии в полосе становятся более сложными.
§ 3. Искаженные структуры. Линейная цепочка
Мы обратимся теперь к вопросу о том, почему структура некоторых металлов
и сплавов является значительно более сложной, чем у простых плотно
упакованных или объемноцентрированных решеток, которые при любых силах,
действующих непосредственно между
(5.11)
ГЛ. 5. СИЛЫ СЦЕПЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ
одинаковыми атомами, соответствовали бы, повидимому, наименьшей
потенциальной энергии.
П ичины появления некоторых из таких структур можно понять, если взять
какую-нибудь очень простую решетку, а затем ввести небольшое смещение
атомов, понижающее трансляционную симметрию или симметрию относительно
поворотов или же обе сразу. Сначала мы обсудим влияние таких смещений в
одномерной задаче.
Рассмотрим периодический потенциал линейной цепочки атомов, подобно тому,
как это делалось в гл. 4, § 1. Если все атомы эквивалентны и период равен
а, то все отрезки, кратные а, являются векторами решетки, и основной
ячейкой в пространстве обратной решетки будет, как обычно, интервал
Теперь предположим, что мы исказим цепочку, смещая каждый атом на
небольшое расстояние так, чтобы смещение повторялось через каждые г
атомов. Простейшим примером является смещение каждого г-го атома на
небольшое расстояние в определенном направлении.
Такое искажение цепочки немедленно понизит трансляционную симметрию.
Теперь мы должны считать, что в ячейке содержится г атомов, и только те
отрезки, которые кратны га, являются векторами решетки.
Ячейкой в пространстве обратной решетки служит теперь отрезок
Кривая энергии Е{к) для электрона в потенциальном поле первона чальной
цепочки, которая выглядела, например, так, как это изобра
жено на фиг. 13а, теперь благодаря искажению цепочки изменяется-Ввиду
понижения симметрии эта кгивая представляет теперь г различных полос с
сокращенной ячейкой обратной решетки [см. (5.13)]. Пунктирная линия на
фиг. 136 изображает это сокращение для случая г = 3.
Влияние смещения можно теперь рассматривать как возмущение, причем надо
иметь в виду, что искаженный потенциал имеет не
(5.12)
(5.13)
?
-я/а
Фиг. 13а.
Фиг. 136.
I 3. ИСКАЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПОЧКА
Ш
равные нулю матричные элементы для тех пар состояний, которые
соответствуют одной вертикальной линии на фиг. 136. Таким образом,
положение полностью аналогично тому, которое мы обсуждали в гл. 4, § 3.
Так же, как и раньше, обычная теория возмущений является неприменимой
вблизи концов и середины сокращенной зоны, где пересекаются пунктирные
линии и возникает неисчезающий матричный элемент, соответствующий
состояниям с почти одной и той же энергией. Модифицированная теория
возмущений, развитая в гл. 4, § 3, здесь вполне Фиг. 13в.
применима и дает энергетические
кривые, аналогичные тем, которые изображены сплошными линиями на фиг.
136. Тот же результат для удобства рассуждений изображен еще раз на фиг.
13в, однако вместо к здесь использован первоначальный волновой вектор.
Величина вертикальных разрывов, возникающих в точках
К = ^, Р=1, 2................г-1, (5.14)
так же, как и раньше (см. гл. 4, § 3), равна удвоенному матричному
элементу
^ = J fkf (х) bV(x) ф (х) dx, (5.15)
где ф- волновые функции первоначальной неискаженной решетки, a SV -
изменение потенциала, вызванное смещением атомов.
Роль смещения заключается в разделении любых двух значений энергии,
которые на графике фиг. 136 лежат по вертикали близко друг от друга.
Среднее от этих двух значений энергии, согласно (4.38), не меняется с
точностью до членов второго порядка, которые обусловлены взаимодействием
с более далекими состояниями [см. (4.35)] и в данном случае пренебрежимо
малы.
Поэтому, если состояния с каждой стороны от одного из разрывов на фиг.
13в заполнены электронами, то полная энергия всех электронов не изменится
при искажении решетки. Но если такой разрыв точно совпадает с краем
распределения Ферми или очень близок к нему, то состояния, которые
"смещаются" вниз по энергии, оказываются занятыми, а состояния, которые
"поднимаются", - пустыми, так что в результате происходит общее
уменьшение энергии.
Отсюда следует, что для одномерного металла с частично заполненной
полосой структура в форме регулярной цепочки никогда не будет стабильной,
