Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
В металле мы можем в качестве грубо ориентировочной оценки считать dZ/dE
величиной порядка отношения числа атомов к энергии порядка ширины полосы.
Так как последняя в общем случае равна нескольким электрон-вольтам, в то
время как kT при комнатной
температуре имеет порядок 3 • 10-2 эв, то электронная теплоемкость при
комнатной температуре составляет около 1% величины теплоемкости решетки
по Дюлонгу и Пти.
Этот результат, на который впервые указал Зоммерфельд, устраняет
противоречие, которое существовало между тем фактом, что металлы содержат
большие количества, по всей видимости, свободных электронов, и
отсутствием какого-либо заметного вклада в теплоемкость, который мог бы
быть приписан этим электронам.
В обычном металле электронную теплоемкость можно легче всего наблюдать
либо при очень высоких, либо при очень низких температурах. При высоких
температурах, когда теплоемкость, обусловленная колебаниями решетки,
приблизительно постоянна, легче заме-
8 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ
115
тить член, пропорциональный температуре. Однако мы видели в гл. 2,
§ 3, что сама кристаллическая решетка дает поправку к теплоемкости,
пропорциональную Т, и нужно точно знать величину этого эффекта для того,
чтобы выделить электронную часть.
Удобнее наблюдать электронную теплоемкость при низких температурах, где
обусловленная колебаниями теплоемкость решетки становится
пропорциональной Г8, так что в пределе очень низких температур
электронная часть будет доминировать. Эксперименты в этой области
температур дают величину плотности электронных уровней вблизи энергии
Ферми.
Наша грубая оценка величины dZ/dE будет неверна в следующих двух случаях:
а) Когда граничная энергия Ферми riQ лежит в очень узкой полосе. Это
имеет место в переходных металлах (например, Pd), где свободный атом
содержит незамкнутую внутреннюю оболочку, так что некоторые из электронов
проводимости находятся на весьма малых орбитах, для которых интегралы,
зависящие от перекрытия волновых функций (см. § 2), очень малы.
б) Когда мы рассматриваем почти пустую или почти заполненную полосу. В
этом случае энергия мало отличается от предельного значения и является
квадратичной функцией k. Распределение состояний при этом, как мы видели,
почти то же самое, что и для свободных электронов, правда масса имеет
иную величину. В этом случае леГко показать, что
dZ V 3m* / V\k7 ,,
Ш = lir) l?-'P'lfaa) (zi)/3- <4*58>
где m* - эффективная масса, V-объем, Ey-энергия минимума или максимума, a
Zx- число электронов или число дырок в полосе, в зависимости от того,
какая из этих величин мала.
В случае "а" плотность состояний много больше, чем та величина, которую
дает приведенная выше грубая оценка. В случае яб" она оказывается
меньшей. В обоих случаях следующие производные по Е будут больше и члены
более высокого порядка, которыми мы пренебрегли в (4.50), уже не будут
малыми, даже при очень низких температурах. Мы говорим в этом случае, что
электронный газ только частично вырожден.
§ 7. Поверхностные задачи
До сих пор мы принимали, что во всех практически интересных случаях
кристалл может рассматриваться как бесконечно протяженный, и вводили
циклическое граничное условие просто для того, чтобы получить правильное
число состояний. Однако в некоторых задачах нам приходится встречаться с
такими явлениями, которые существенно
116
гл. 4. электроны в идеальной решетке
зависят от наличия у металла поверхности, и в этом случае нужен более
осторожный подход. Наиболее существенным из возникающих при этом вопросов
является вопрос об абсолютном расположении энергетических полос, если,
например, в качестве естественного нуля энергии выбрана энергия
покоящегося электрона, находящегося вне металла. На первый взгляд можно
подумать, что потенциальная функция V (г) в принципе может быть получена,
если известна структура атомных сердцевин, так что, например, в
приближении сильной связи (§ 2) для этого было бы достаточно знания
потенциала сердцевины О (г) и для определения энергетических полос нужно
было бы произвести только некоторые вычисления.
Однако положение в действительности не так просто, поскольку, как было
показано ранее, атомные сердцевины заряжены положительно, и для того
чтобы получить соответствующие действительности результаты, нужно принять
во внимание среднюю отрицательную плотность заряда, образованную всеми
электронами проводимости. Внутри металла этот заряд должен быть
распределен равномерно, так что полный электронный заряд в элементарной
ячейке в точности компенсирует заряд, обусловленный сердцевиной, и каждая
ячейка в целом нейтральна. Однако нет оснований предполагать, что эта
точная компенсация имеет место и вблизи поверхности. Конечно, мы считаем,
что кристалл в целом не заряжен, поэтому каждому из поверхностных атомов
тоже соответствует где-то расположенный отрицательный заряд,
компенсирующий положительный заряд сердцевины. Правда, мы не знаем,
каково пространственное распределение этого заряда. Например, может
