Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
зарядами. Отсутствие электронов, перемещающихся в отрицательном
направлении оси х, означает, что в положительном направлении х появляется
ток, и, следовательно, он действительно направлен по полю. Энергия,
необходимая для создания дырки, естественно будет минимальной для
состояния с наибольшей энергией, и если имеется лишь один максимум, то
энергия будет равна
const - b (к - к0)а.
Константу Ъ, как и раньше, можно связать с эффективной массой
положительных дырок. Вряд ли нужно указывать на сходство этого
рассуждения с теорией позитрона Дирака.
При некоторой конечной температуре, когда система не находится в
состоянии с наименьшей энергией, распределение электронов подчиняется
статистике Ферми - Дирака. Среднее число электронов в состоянии с
энергией Е дается выражением
W-i+J-w*' (4-45)
а свободная энергия -
F = Net\ - 2ЙТ2 In [1 + e~iEi~r,)/kT], (4.46)
i
где Ne - полное число электронов, I - номер состояния, a Ei -
соответствующая энергия. Множитель 2 в формулах (4.45) и (4.46) учитывает
два направления спина.
Константа •") должна быть определена таким образом, чтобы число
электронов во всех состояниях было равно Ne, т. е.
W. = 32/(*<)* (4-47)
112
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
Практически kT очень мало по сравнению с шириной полосы,
а также по сравнению с шириной заполненных и пустых частей
полосы, если только число электронов проводимости или дырок не чрезмерно
мало. Поэтому мы можем применить обычное приближение для сильно
вырожденного ферми-газа.
В частности, когда мы рассматриваем интеграл с функцией
Ферми следующего вида:
СО
/ (4-48)
- 00
где О - некоторая функция энергии, плавная вблизи Е =-•"), то, интегрируя
по частям, мы получаем
00
- Q (- оо) - fdEO(E)§.
- СО
Но dfjdE максимально вблизи ? = Y] и быстро убывает, если | Е - yj |
превышает kT. Поэтому удобно разложить G вблизи yj в ряд Тэйлора. При
этом получается
- G (- оо) + О (,,) + O' (т])Л +10" Шг + | О'" Ш" +•••¦
где штрихи означают производные, a fv /2, ... - моменты:
00
/" = - fdE(E-n)"&.
-СО
Ввиду того что
?/______________________1_____________________!_ (4 49)
dE ~kT( 1 + е(Е~^кТ) (1 + e-V-W*) К )
является, очевидно, четной функцией Е - т" все нечетные моменты Л" /з"
••• обращаются в нуль. Второй момент /2 равен
/2 = | {kT?,
и поэтому с точностью до членов порядка Г4 интересующий нас интеграл
со
J dE^-f(E)=G (Y)) - О(- оо) -h ^ (kTf О" Сп). (4.50) -00
Этот результат может быть применен для вычисления суммы в формуле (4.47),
которая может быть записана в интегральной
S С. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
113
форме. Если Z (Е) обозначает число энергетических уровней с энергией,
меньшей Е, то соотношение (4.47) может быть записано в виде
СО
А/е = 2 Jd?g/(?) = 2Z(T1) + |(g)i)(^. (4.51)
-СО
Следовательно, мы можем найти температурную зависимость т,:
ч<4-52)
Отношение первой производной Z ко второй производной представляет собой
меру интервала энергии, в котором плотность состояний заметно меняется.
До тех пор пока этот интервал больше kT, разность т)-Yj0 мала по
сравнению с kT, и поэтому в большинстве случаев ею можно пренебречь.
§ 6. Теплоемкость
Основываясь на результатах предыдущего параграфа, можно легко вычислить
энергию системы электронов.
Полная энергия, очевидно, равна
?(T) = S?i/(?l), (4.53)
i
где сумма берется по всем возможным состояниям i электрона. Вводя опять
число состояний Z (Е) с энергией, меньшей Е, имеем
00
Е(Т) - 2 //(?)? gdf. (4.54)
-ОО
Применяя результат (4.50), в котором
Е
Q(E)= j E-^dE, (4.55)
- 00
находим
Е(Т) = 2 /E^dE+^kT^ + E^.
- 00
Мы уже видели, что т( очень мало отличается от тю, и
поэтому
в интеграле можно сначала взять в качестве верхнего предела %
вместо т|, а затем ввести поправку первого порядка по разности:
?(7)_2 /Е§Й? + 2(Е§)1^_%) +
114
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ решетке
Подставляя т, - т,0 из (4.52), находим
- СО
Электронная теплоемкость равна
= E(0) + f(*7T(g)". (4.56)
кТШ"• <4-57>
(4.57)
Результаты (4.56) и (4.57) имеют простой физический смысл. Постоянный
член в энергии (4.56) представляет собой энергию низшего состояния
системы, в котором все состояния вплоть до предельной энергии Ферми
заполнены, а остальные пустые. При конечной температуре Т единственными
состояниями, у которых числа заполнения отличаются от значений при
абсолютном нуле, будут состояния, расположенные в интервале порядка k Т в
окрестности т)0. Увеличение температуры оказывает влияние лишь на те
электроны, которые находятся в этой области, остальные же электроны
продолжают оставаться "замороженными*. Поэтому следует ожидать, что для
каждого из таких электронов теплоемкость будет порядка k. Число таких
электронов равно плотности состояний dZ/dE, умноженной на ширину
интервала kT.
В неметаллическом кристалле y)q совпадает с верхней границей
энергетической полосы, которая в этом случае не перекрывается с какой-
либо другой. Следовательно, в этом случае (dZ/dE) - 0, и до тех пор, пока
справедливо приближение (4.50), электронная теплоемкость отсутствует.
