Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
требуем, чтобы пространство-время Ж с метрикой ds2 было продолжимо до
конформного многообразия с границей Ж td Ж (int Ж - Ж\ Ж == Ж - Ж),
причем так, чтобы выполнялись условия:
Существует гладкая (скажем, класса С3, по крайней мере) вещественная
функция Й(^& 0) на Ж и ГЛАДКАЯ ПСЕВДОРИМАНОВА МЕТРИКА ds2 НА Ж (СОВ-
(8.16) МЕСТИМАЯ С ЕГО КОНФОРМНОЙ СТРУКТУРОЙ), ТАКАЯ, ЧТО
ds1 = й2 ds2 на Ж.
На Ж имеем й = 0, УаЙ Ф 0.
Каждая световая геодезическая в Ж имеет две
КОНЦЕВЫЕ ТОЧКИ НА Ж.
Если такое Ж существует, мы будем называть Ж асимптотически простым.
Тогда Ж определяется однозначно (как следует, например, из построения Ж в
терминах световых геодезических [34]). Мы пишем Ж - Э для точек,
находящихся на бесконечности Ж.
(8.17)
(8.18)
102
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Условие (8.18) обеспечивает включение всей бесконечности Ж. Это условие
обычно трудно проверить практически, и оно даже не выполняется в
некоторых мирах, которые можно было бы трактовать как асимптотически
плоские, но которые содержат ограниченные световые орбиты (т. е. световые
геодезические, которые не уходят на бесконечность, как это имеет место
при г = Зт в решении Шварцшильда). Чтобы учесть такую возможность, будем
называть пространство-время Ж асимптотически простым в слабом смысле,
если существует асимптотически простое Жо, такое, что для некоторого
открытого подмножества Ж множества Ж0 (с Жо с Ж) область Жо П Ж (с
метрикой, индуцированной из Ж о) изометрична подмножеству Ж. Другими
словами, асимптотически простое в слабом смысле пространство-время
содержит конформную бесконечность & = Жо асимптотически простого
пространства-времени, но может также содержать и другие "бесконечности".
Чтобы получить связь с асимптотической евкли-довостью Бонди-Сакса,
предположим, что Ж является асимптотически простым в слабом смысле с
конформной бесконечностью &. Используя уравнения Эйнштейна (7.1), можно
показать, что если вблизи & тензор Tab не становится пропорциональным gab
с ненулевым коэффициентом, то
St ЯВЛЯЕТСЯ ПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНЫМ, ВРЕМЕННОПОДОБНЫМ ИЛИ СВЕТОВЫМ В
ЗАВИСИМОСТИ от того,
ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ \ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ИЛИ
НУЛЕВОЙ. (8.19)
(Если X Ф 0, нет нужды предполагать условие Va?2 ф 0 из (8.17), так как
его можно вывести.) Если Э является пространственноподобным или световым,
то оно представляет собой непересекающееся объединение двух
гиперповерхностей 9~, 3+х). Точки
') Примечание к русскому изданию. Только в том случае, когда St является
временноподобным, его нельзя разделить на St- и St+. Если же St является
пространственноподобным или световым, ни одна точка St не может
принадлежать одновременно и St и St т,
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
103
3 отличаются от точек 3* тем, что их световые конуса будущего, а не
прошлого, лежат в Ж. Поскольку мы интересуемся здесь больше
асимптотической ев-клидовостью, чем космологией, предположим, что 3
является световым. Отсюда следует1) (при условии, что Ж о временно- и
пространственноориентируемо и кроме того не содержит замкнутых
временноподобных кривых, но это предположение, возможно, является
излишним), что
&- ~ Д+ ~ S2X?', (8.20)
где Е1 - световые образующие 3±. Результат (8.20) означает, что, когда 3
является световым, оно сильно напоминает бесконечность мира Минковского.
Чтобы двигаться дальше, нам нужно более строго представлять себе
поведение ТаЪ вблизи 3. Для простоты вначале предположим, что ТаЪ - 0 (и
1 = 0) в окрестности 3. Тогда мы можем сказать больше. Действительно,
Va(a'Vb')BS = 0 на 3 (8.21)
и вследствие (8.21) и (8.20) (ср. с [76]) получим
^лвсо = 0 на Et. (8.22)
[Мы также можем получить VQ ф 0 на 3, а не предполагать это в (8.17).] На
основании (8.22) для главных световых направлений можно вывести свойство
последовательного вырождения, которое было упомянуто в разд. 7.
Аргументация будет приведена позже.
Тождества Бианки (8.2) в спинорной форме имеют
вид
Vp'VABCD = Vb t&CDQ'P' - 2ев (C^D) P' A. (8.23) Тогда при Tab - 0
получаем
Ул/>лвсо = 0. (8.24)
•) План доказательства этого результата приведен в приложении к [76]. Мне
кажется, однако, что должен существовать другой, более простой вывод
результата (8.20).
104
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Уравнение (8.24) интересно тем, что оно обобщает уравнение свободного
поля частиц нулевой массы в частном случае спина s = 2 на случай
искривленного пространства. Для общего случая ненулевых спинов s = '/г,
1. 1V2, 2, ... мы бы имели
V48...L = 0- (8.25)
где
Улв ... L = У(АВ ... L) (8.26)
есть спинор с 2s индексами. Для s = V2 уравнение
(8.25) есть не что иное, как уравнение Вейля для ней-
трино (уравнение Дирака для частиц нулевой массы). Для s = 1 выражение
(8.25) есть спинорный вариант уравнений Максвелла в свободном
пространстве
У[ЛС1 = 0, VaFab = 0 (8.27)
с максвелловским тензором
Fab ~ ^Ьа ~ УаВёА'В' ^ гАвУа'В" (8.28)
В плоском пространстве-времени (8.25) является вполне удовлетворительным
