Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы имеем хорошо определенную конформную структуру на
многообразии (-л/2 ^ ^ q ^ р ^ л/2) с границей ') (q = -л/2 или
') Строго говоря, здесь нет многообразия с границей, поскольку граница
обладает "углами". Они будут устранены в строгом определении, которое
дано несколько ниже.
Есть также другой вариант компактного конформного мира Минковского, в
котором отождествлены граничные гиперповерхности в будущем и в прошлом.
Тогда имеет место компактное конформное многообразие с границей ("S'XS3)
(см. [51, 92], а также [76, 79]).
93
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
/?=л/2), внутренность которого (-л/2 < q ^ р < < л/2) идентична по своей
конформной структуре пространству-времени Минковского. Отметим, что
<7=const и /T = const являются световыми гиперповерхностями (конусами) и
образованы световыми геодезическими. Это же относится, в частности, и к
граничным гиперповерхностям.
Метрика (8.10) является, по существу, метрикой статической вселенной
Эйнштейна ё. Если полагать р + q неограниченным, а - q я (с обычной
областью изменения для сферических полярных координат 0, ф), то можно
считать (8.10) уравнением "цилиндра" ё "S3X?I, если просто переписать
(8.10) в форме ds2 = dT2 - dS2, где - обычная метрика на 3-сфере.
[Координатную сингулярность в (8.10) можно теперь покрыть, применяя к
координатам р, q, 0, ф вращение в S3.] Часть ё, соответствующую Ж, можно
изобразить геометрически следующим образом (рис. 16). Выберем на ё точку
1~ (это будет точка с координатами p = q = -л/2). Световые геодезические
на ё, которые начинаются в /', образуют световой конус будущего для точки
1~. Эти геодезические собираются в первой фокальной точке, которая
диаметрально противоположна (относительно 53) точке/-, Назовем ее /° (это
будет точка р - -q~ л/2).
Открытые отрезки световых геодезических от /- до 1° образуют
гиперповерхность -л/2 < р < л/2,
q - -л/2), которая ограничена в прошлом точкой /~, а в будущем - точкой
1°. {У- имеет топологию S2 X X Е1.) Гиперповерхность определяет световой
конус прошлого для /°. Продолжим эти геодезические в будущее за точкой
/°. Они достигнут второй фокальной точки /+ (р = q = п/2), диаметрально
противоположной 1° (по отношению к S3) и лежащей поэтому непосредственно
"над" 1~ в ё. Открытые сегменты световых геодезических от /° до /+
образуют световую гиперповерхность 3+{р - п/2, -л/2 < q < я/2) опять-таки
с топологией S2y/El, ограниченную в прошлом и будущем точками /° и /+
соответственно. Часть ё, которая может быть отождествлена с Ж (по
конформной структуре), есть как раз множество точек ё, ле-
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
97
Рис. 16. Конформный мир Мин-ковского как часть вселенной Эйнштейна.
жащих "между" Sf~ и 3*
(т. е. множество точек, которые лежат между /~ и /+ на временноподобных
кривых от /~ до /+). Таким образом, Ж является открытым подмножеством и
его граница есть
ги^_и/°и^+и/+.
Удобно изображать Ж как внутренность двух соединенных по основаниям
конусов (рис. 17). Тогда разные части Ж будут представлены частями этих
ограниченных обрезанных конусов. Надо иметь в виду, однако, что эта
картина не точна с точки зрения конформности. Наибольшее несоответствие
имеет место вблизи /°, поскольку /° выглядит как экваториальная область,
в то время как это должна быть точка. (Разумеется, мы должны также
представлять себе картину четырехмерной.)
Точки /", /°, /+ интерпретируются как "временная бесконечность прошлого",
"пространственная бесконечность" и "временная бесконечность будущего".
Гиперповерхности и 9^ суть, соответственно, "световая бесконечность
прошлого" и "световая бесконечность будущего". Происхождение таких
названий станет очевидным, если мы исследуем прямые (согласно метрике
Минковского ds) линии в Ж. Временноподобная прямая линия становится
кривой, соединяющей 1~ и /+; пространственноподобная линия становится
замкнутой кривой, проходящей через /°; световая линия
4 Р, Пенроуэ
98
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Г
Рис. 17. Каждая_световая геодезическая в Ж достигает двух концевых точек
в Л\ одна из них лежит на , другая - на 3+ •
является световой геодезической, начинающейся на 3~ и заканчивающейся на
3+. Во всех случаях кривая становится "компактной" после добавления
соответствующих точек на бесконечности.
Продолжение Ж как конформного многообразия, конечно, не приводит
однозначно ко всей конформной вселенной Эйнштейна, поскольку вне границы
Ж мы можем изгибать продолженное пространство произвольно. Однако
замыкание Ж пространства Ж в & однозначно определяется как конформное
многообразие с границей. Для полной строгости было бы более логичным
удалить точки /°, /+ из определения Ж и также из Ж = 3, так как в
противном случае Ж не было бы многообразием с границей в этих трех
точках, Это будет сделано более аккуратно позднее в связи с обсуждением
асимптотически плоских миров. (Однако я не всегда буду последователен в
этом отношении, так как иногда бывает полезно говорить об
