Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
/°,_/+.) Есть несколько способов убедиться в том, что Ж определяется
конформно однозначно. По-видимому, наиболее прямым из них является
построение точек 3 в терминах классов эквивалентности световых
геодезических в Ж. [Точки Ж можно определить другим путем - через
горизонты события и частицы
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
99
(разд. 9). Нетривиальные горизонты можно использовать для определения
точек Ж.] Понятие световой геодезической является конформно инвариантным,
поэтому здесь такое построение уместно. Мы должны решить, когда две
световые геодезические в Ж надо рассматривать как пересекающиеся на Ж.
Метод, развитый Герочем [34, 35, 118*], можно применять к произвольному
пространству-времени. В данном случае, когда Ж является миром
Минковского, две световые геодезические встречаются в одной и той же
точке на
тогда и только тогда, когда они принадлежат (согласно метрике ds) к одной
и той же световой гиперплоскости в Ж. Если же они просто параллельны в Ж,
они пересекают одну и ту же образующую точки /+1). Для рассматриваемого
частного случая мира Ж две световые геодезические, встречающиеся на Д+,
должны также встречаться на и наоборот. Однако это очень специфическое
свойство мира Минковского, и оно не имеет места в общем случае.
Перейдем к более общему миру Ж, а именно к решению Шварцшильда для
метрики внешнего поля сферически симметричного массивного тела. Я буду
использовать метрику Эддингтона - Финкельштейна [27, 32] с одной
запаздывающей световой координатой и:
ds2 = du2[ 1 - 2 m/r] + 2 drdu - r2(dQ2 - sin20d(p2) (r> 0).
(8.11)
(Эта метрика обсуждается более подробно в разд. 10.) Если выбрать ds =
Qds, где
Q = /¦-"=/, (8.12)
*) Примечание к русскому изданию. Например, для мира Минковского в
обычных координатах световая геодезическая х - t, у - г = 0 параллельна
геодезической х = / + 1. у - г = 0, но всякая гиперплоскость, содержащая
обе эти линии, должна быть временноподобной. Следовательно, эти
геодезические пересекают 2Т+ в различных точках некоторой образующей
точки I*. С другой стороны, x=t, y = z=0 лежит в той же световой
гиперплоскости, что и х = t, у = 1, г = 0, а именно в гиперплоскости х =
t, так что эти линии встречаются на 2Т+ в одной и той же точке.
4*
100
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
а I-новая координата, конечная при г- оо, то мы получим
ds2 = du2 (12 - 2ml3) -2 dldu- dO2 - sin2 0 dip2 {I > 0).
(8.13)
Эта метрика регулярна на 9+, определенном как 1-0, и конечно. Как и
раньше, 9+ есть S2 X ЕК Чтобы найти 9~, перепишем (8.11) в терминах
опережающей световой координаты v - и + 2г + Am In (г - 2т):
ds2 = dv2{\ - - 2 dr dv-r2(d02 + sin2 0 dq>2) (r>0)
(8.14)
и опять применим (8.12). Это дает метрику
ds2 = dv2 (I2 - 2ml3) + 2 dldv- dO2 - sin2 0 dq>2 (I > 0),
(8.14a)
которая регулярна на " S2 X El, определенном посредством I - 0.
Единственное реальное различие между этим случаем и рассмотренным ранее,
с точки зрения структуры бесконечности, состоит в том, что здесь мы не
получаем регулярных точек /~, /°, /+. Не удивительно, что 1~ и /+
оказываются сингулярными, так как источник сконцентрирован именно в этих
точках- на двух концах его истории. Но /° - также сингулярная точка, в
которой конформная кривизна бесконечна (хотя /° может быть присвоена
конформная метрика класса С0). Таким образом мы исключаем /° и /± из
определения Ж (и из U 3+).
Запись шварцшильдовской метрики в виде (8.11),
(8.14) является частным случаем
ds2 - r~2A dr2 - 2Bi dxl dr + r2Gi\ dx' dx1 (i, j = 1, 2, 3)
(8.15)
где A, Bu Cij-функции xl, x2, x3 и г, достаточное число раз
дифференцируемые (скажем, класса С3) по хЛ (а =0, 1, 2, 3) на и в
окрестности гиперповерхности 9, определенной как х° = 0, где х° = г~\
Если предположить, что детерминант из метрических коэффициентов А, Вь Сц
не обращается в нуль, то станет ясно, что метрика ds=Qds, где ?2 = г-1
регулярна (С3) на 9. Метрика (8.15) включает все
8. КОНФОРМНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
101
метрики типа Бонди - Сакса, так что предположение о регулярности & не
кажется неприемлемым, если мы хотим изучать асимптотически плоские миры и
допускать возможность гравитационного излучения. В действительности
(8.15) является более общим, чем метрики Бонди - Сакса в предположении,
что не налагаются уравнения поля, ограничивающие Яаъ• В частности (8.15)
включает мир де Ситтера и асимптотические миры де Ситтера. Эти случаи
имеют место при условии, что в эйнштейновых уравнениях свободного поля
присутствует космологический член.
Выбор Q для (8.15), который требуется произвести, чтобы сделать метрику
ds регулярной на &, имеет то важное свойство, что градиент Q на & не
равен нулю [iд?2/дха = (1,0,0,0) на 3] и таким образом определяет
направление нормали к &. Предположение регулярности & удобно дополнять
условием нетривиальное(tm) градиента Q на &, но при некоторых
обстоятельствах это условие можно вывести из предположения регулярности.
Сформулируем более точно условия, которые должны быть удовлетворены. Мы
