Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
направлений в Р может быть представлена в следующем виде:
{22<{4}>з" (76)
I II III
где стрелки указывают направление увеличивающегося вырождения. Здесь
{1111} представляет общий случай, когда световые направления различны; {2
11} - случай, когда есть одно сдвоенное световое направление и два
единичных несовпадающих, и т. д. Символ {-} означает случай 'Fabcd = 0 в
Р; римские цифры I, II, III, относящиеся к столбикам в (7.6), это типы
Петрова, которые представляют собой более прямую классификацию [806, 81]
величин Саъс<1 в соответствии с размерностью пространства, натянутого на
собственные векторы матрицы Са6сь (индексы а, Ь и с, b попарно собираются
вместе). Случай {4}, в котором все главные световые направления
совпадают, называют световым-, случай {2 2} называют вырожденным-, все
случаи, за исключением {1 1 1 1}, называются алгебраически специальными.
Используя тензор Cabcd, мы можем написать необходимое и достаточное
условие [23, 93] того, чтобы
Рио. 9. Свойство Сакса - свойство последовательного выро
ждения.
световой вектор 1а указывал главное световое направление:
llaCb]cdlelfilCld = 0. (7.7)
Классификационная схема (7.6) играет существенную роль для понимания
геометрической структуры гравитационных полей. По-видимому, физический
смысл главных световых направлений проявляется наиболее ясно в свойстве
Сакса - свойстве последовательного вырождения (peeling-off) [64, 76, 93-
95]. Оно гласит, что для асимптотически плоского пространства-времени,
пустого на бесконечности (см. определение в разд. 8), вдоль любой
световой геодезической тензор кривизны обнаруживает определенное
характерное асимптотическое поведение. Пусть г - аффинный параметр на у.
Тогда кривизна уменьшается вдоль у таким образом, что с точностью до
величин порядка г*1 тензор кривизны является "световым", причем
счетверенное главное световое направление указывает вдоль у; Для величин
порядка г~2 имеется строенное главное световое направление вдоль у; для
величин порядка г-3 - сдвоенное; для величин порядка г-4 - единичное, а
для величин по-
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА II ФОКУСИРОВАНИЕ 77
Рис. 10. Относительное ускорение соседних геодезических при наличии
кривизны.
рядка г~ь кривизна не связана с у (рис. 9). Это общее положение, но
возможны также и более специальные случаи. В разд. 8 приведена схема
доказательства этого результата.
Разложение (6.19) было сделано чисто алгебраически. Можно спросить,
существует ли более непосредственный геометрический (или "физический")
способ разделения эффектов, вызываемых тензором Вейля и другими частями
кривизны, а также каков физический смысл главных световых направлений?
Наиболее прямое физическое проявление кривизны пространства-времени
обнаруживается в "приливных силах" - следствие эффекта геодезического
отклонения на вре-мениоподобных геодезических [82, стр. 266].
Соответствующее уравнение может быть записано так:
D2pa~Rabc/pctd = 0, (7.8)
где ta - касательный вектор к конгруэнции временноподобных геодезических,
гладко параметризованный в соответствии с собственным временем s, скажем,
tata = 1. Вектор ра связывает точки с одинаковым значением s на двух
соседних геодезических (рис.10). Оператор D обозначает ковариантное
дифференцирование в направлении ta, т. е.
D = taVa. (7.9)
Уравнение (7.8) известно математикам как уравнение Якоби. [В
действительности (7.8) выполняется при более общих условиях, чем
приведенные, а именно требуется только, чтобы параметр s был аффинным на
78 ?• УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
каждой геодезической.] Если мы выберем ра ортогональным к ta (что можно
сделать), то D2 ра измеряет относительное ускорение соседних инерциальных
пробных частиц. [Простой "интуитивный вывод" (7.8), когда две соседние
геодезические первоначально параллельны, можно получить просто путем
переноса вектора ta вдоль контура RQPSR на рис. 10. Изменение ia дает нам
изменение относительной скорости соседних частиц.]
Уравнение (7.8), примененное к временноподобным геодезическим, не
позволяет нам разделить каким-нибудь простым способом эффекты, вызванные
разными неприводимыми частями тензора кривизны. Но если мы используем
световые геодезические, то эффекты тензора Вейля и (бесследового) тензора
Риччи становятся резко разделенными [83, 102]. Так как случай световых
геодезических имеет некоторые специфические свойства, подходящие для
спинорной трактовки, я приведу независимый спинорный вывод необходимых
уравнений, вместо того чтобы пытаться вывести их из (7.8). Это дает нам
также интерпретацию некоторых спиновых коэффициентов, которая будет
полезна в дальнейшем.
Выберем спиновую систему отсчета еал и положим
BA - 0At е]л = |Л (7.10)
Из условия нормировки (4.27) получим
о"1л=1. (7.11)
Попытаемся дать интерпретацию следующим спиновым коэффициентам [ср.
(6.2)]:
K = Yoooo'> P = Yooio'> a = Yoooi'- (7.12)
Имеются все формы oAV^-oA, где Е, 35' равны соответственно О, O'; 1, 0';
0, 1'. При
