Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
однозначно определяют операцию Уху. (Ясно, что для любой другой пары
значков, скажем М, N', мы получим Vmn' путем замены индексов.) Наоборот,
можно было бы задаться вопросом, не накладывает ли факт существования
системы {S}, удовлетворяющей всем сформулированным условиям, каких-либо
ограничений на Ж как на дифференцируемое многообразие или как на
псевдорима-ново многообразие с данной сигнатурой метрики (+,-,-,-) [с
которой по предположению согласуется gab, данное как (4.47)]. На это
можно ответить, что локально никаких ограничений не возникает (т. е. {S}
существует для некоторого открытого множества, содержащего любое данное Р
е Ж, однако глобальные ограничения имеются. Аналогичное замечание можно
сделать и относительно единственности {S}. Мы перейдем к обсуждению этих
глобальных ограничений на Ж в следующем разделе.
5.
Истолкование спин-вектора
В предыдущем разделе спиноры были введены совершенно формально.
Непосредственную интерпретацию на языке пространства-времени получили
лишь элементы {Т}. Можно было бы думать, что любая геометрическая
интерпретация остальных элементов {S} должна быть по необходимости лишь
сугубо косвенной. Оказывается, однако, что это не так. В действительности
любой спин-вектор может быть интерпретирован в пространстве-времени даже
графически (с точностью до знака). И даже знаку можно приписать свой
смысл на языке физических построений.
Перейдем к истолкованию спин-вектора
соАе SА(Р).
Самым простым мировым вектором, который можно построить из соА, является
мировой вектор
иа - (йА йл\ (5.1)
Тогда иаиа- |соасоа|2 = 0 (так как ыАюА = = -соасоа = 0); следовательно,
вектор иа является образующей светового конуса с вершиной в точке Р. При
этом всякий световой мировой вектор имеет либо вид (5.1), либо вид
va = - uAaA', (5.2)
тогда как всякий комплексный мировой вектор, изотропный в смысле wawa =
0, имеет вид
Wa - (i)AnA'. (5.3)
Эти выводы следуют непосредственно из представле-
ния (4.13), так как ранг 2 X 2-матрицы, детерминант которой равен нулю,
не может превышать единицы,
5. ИСТОЛКОВАНИЕ СПИН-ВЕКТОРА
57
и поэтому такая матрица является внешним произведением двух векторов.
Отметим, что наличие спинорной системы {S} приводит к абсолютному
различию между двумя световыми полуконусами в точке Р: можно определить
как направленные в будущее те световые векторы, для которых верно (5.1)
(при йа=^=0), и как направленные в прошлое - те световые векторы, для
которых верно (5.2) (при юА=т^0). [Эти определения согласуются с (4.13),
если принять, что положительность и0 соответствует возрастанию времени.]
Отсюда следует первое глобальное ограничение на Ж как псевдориманово
многообразие, обусловленное наличием {S}: многообразие Ж должно быть
ориентируемым во времени. Иначе говоря, деление, световых полуконусов в Ж
на два класса - по-луконусы будущего и прошлого - может быть осуществлено
непрерывным образом на всем многообразии.
Итак, из уравнения (5.1) следует, что направленный в будущее вещественный
световой вектор однозначно определяется любым ненулевым спин-векто-ром.
Однако одному и тому же световому мировому вектору соответствует
множество разных спин-векто-ров, так как равенство (5.1) инвариантно
относительно преобразования
сол ->е'есол, (5.4)
где 0 вещественно. Чтобы истолковать "фазу" <мА, не-
обходимо пойти иным путем. Рассмотрим для этого "квадрат" <иАив и, чтобы
ввести такое же количество штрихованных индексов, умножим его на ел'в'.
Наконец, добавив сюда комплексно-сопряженное выражение, получим
вещественный мировой тензор
р"ь = солсовел'в' + елвйл/йв'. (5.5)
Теперь уже видно, что раЬ антисимметричен и прост:
где
раЬ = ыа?& _ ]гаиЬ>
(й А - А' \ А - А'
k = (О К + И 0) •
(5.6)
(5.7)
58
5. ИСТОЛКОВАНИЕ СПИН-ВЕКТОРА
Р и с. 7. Слин-вектор ш в точке Р определяет световой флаг. Это можно
изобразить, построив вектор, касательный к небесной сфере в точке U.
Здесь хА-произвольный элемент SА(Р), для которого соаха= 1, причем из
(4.37) следует соАхв-хАсов= = ёав. Вектор ka является вещественным и
пространственноподобным, его модуль равен ]/2, и он ортогонален вектору
иа:
ka = ka, kaka = -2, kaua = 0. (5.8).
Этот вектор определяется бивектором раЬ с точностью до (вещественного)
слагаемого, пропорционального иа. Поэтому возможные направления ka
определяют элемент двумерной полуплощадки в Р, касательный к световому
конусу вдоль светового направления иа. Можно сказать, что соА определяет
световой флаг [70,73,114] в касательном пространстве при Р, причем
флагштоком служит направленный в будущее световой вектор иа, а полотнище
флага есть световая 2-площадка, в которой лежит иа (рис. 7).
Чтобы полнее обрисовать природу площадки этого флага, рассмотрим сечение
касательного пространства в Р пространственноподобной гиперплоскостью, не
проходящей через Р, вырезав тем самым конус в сфере S2. Флагшток
пересекает S2 в точке U, а площадка флага дает в U единичный касательный
вектор к S2 (его можно отождествить с вектором кЧУ 2 в том случае, если
