Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
позднее. Гравитационная энергия не может быть адекватно определена
локальным образом; наоборот, она проявляется как своего рода нелокальная
величина. Локальную гравитационную энергию надо, очевидно, представлять
себе равной нулю, что согласуется с уравнениями (7.1). Космологический
член Xgab обычно отбрасывают, так как нет теоретических или
наблюдательных доводов, заставляющих верить в его существование. Во
всяком случае К должно быть чрезвычайно мало, порядка единицы, деленной
на квадрат радиуса вселенной *).
') Под радиусом вселенной автор подразумевает величину, равную
произведению скорости света на время, протекшее с начала расширения
вселенной. Это величина порядка 1028 см. - Прим. ред.
7. уравнения Эйнштейна и фокусирование 73
Уравнения (7.1) ничего не говорят о кривизне пространства, так как тензор
Таь не связан еще никакими ограничениями. Но мы можем рассматривать (7.1)
для трех различных ситуаций. Во-первых, мы можем интересоваться теорией
свободного гравитационного поля, для которого Tab - 0. Тогда уравнения
(7.1), записанные в координатной системе ха, становятся хорошо
определенной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных для функций gab• Эти уравнения трудно решить точно, и
известно очень мало решений, имеющих непосредственное физическое
истолкование. (Некоторые из них будут приведены в последующих разделах.)
С другой стороны, можно сделать некоторые общие утверждения о поведении
решений, в частности, об их асимптотическом поведении, если наложены
подходящие граничные условия.
Во-вторых, нас могут интересовать решения уравнений (7.1), для которых
ТаЬ хотя и не равно нулю, но подчинено некоторым условиям ("уравнениям
состояния"), которые обычно выражаются дифференциальными уравнениями в
частных производных, но относятся теперь к полевым переменным, входящим в
Таь. (Например, в случае уравнений Эйнштейна - Максвелла в качестве ТаЪ
выбирают тензор энергии свободного электромагнитного поля, который
подчинен ковариантным уравнениям Максвелла без источников.) Опять-таки, в
общем случае уравнения практически невозможно решить в точном виде для
уравнений состояния, имеющих физический смысл.
В-третьих, мы можем довольствоваться некоторыми общими утверждениями о
решениях уравнений
(7.1), в которых мы просто ограничили ТаЬ неравенствами. Например, такое
неравенство может устанавливать положительность локальной плотности
энергии или удовлетворять некоторым другим физически разумным
требованиям. Такой подход наиболее удобен во многих отношениях; поэтому
последние два раздела будут посвящены главным образом рассмотрению
пространств-времен (миров. - Перев.) при таких условиях,
74 7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ
Наконец, можно отметить, что один из подходов к уравнениям (7.1),
который, строго говоря, является безосновательным, состоит в том, чтобы
рассматривать Таь как некоторое заданное распределение источников, для
которого мы пытаемся построить гравитационное поле. Такой подход часто
применяется в других областях физики, но здесь, до тех пор, пока не
определена метрика gab, даже не ясно, что подразумевать под заданным
распределением источников.
Если разложить Rabcd на его спинорные части и использовать (6.26) и
(6.27), то мы получим
КТаЬ - Ф АВА'в' + (зЛ -- к j е,АВгА'В', (7.2)
так что Фаъ представляет собой бесследовую часть ТаЬ, а Л - его след:
ф аь = к(таь-^Т/ёаЬ), A = -L(KTx* + 2k). (7.3)
Та часть Rabcd, которая (локально) совершенно не зависит от ТаЬ, есть
тензор Вейля Саъсй или, что эквивалентно, спинор Tabcd. Таким образом, мы
можем говорить о Tabcd как о свободной гравитационной части кривизны.
Области, где нет материи, все-таки могут иметь кривизну. Эта кривизна,
согласно уравнениям Эйнштейна, будет определенного рода, и ее структура
полностью определяется совершенно симметричным спинором Ч'авсо- Если Таь
= 0 и к - 0, то получим Rabcd = Cabcd, где Cabcd определяется по (6.22).
Исследуем природу Ч/'Авсп- Для этой цели особенно хорошо подходят
спинорные методы, в то время как аналогичное исследование тензора Вейля
CabCd было бы значительно менее наглядным.
Рассмотрим форму где для про-
стоты мы выбираем ?° - 1, I1 - z. Это полином 4-й степени по 2 с
комплексными коэффициентами, и потому он факторизуется на четыре линейных
множителя:
7. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФОКУСИРОВАНИЕ 75
Сравнивая коэффициенты и исключая базис [ср. с (3.21)], мы получим
х^лвсо - "(aPbYc^d)- (7-5)
Факторизация однозначна с точностью до комплексного множителя в каждом из
аА, • ••, бв- Таким образом, световые направления, задаваемые каждым из а
а, . . . , б в, определяются однозначно, и мы видим, что 'Fabcd
представляет неупорядоченное множество четырех (возможно, совпадающих)
направлений вдоль светового конуса в каждой точке Р на М (в которой
^авсбФ 0). Эти направления называются главными гравитационными световыми
направлениями в Р [23, 72, 91]. Схема совпадений для главных световых
