Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
нижними штрихованными индексами преобразуются по неприводимому
представлению D(r/2, s/2) группы Лоренца.
52 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИИОРНОИ СТРУКТУРОЙ
Включим теперь в нашу спинорную схему и мировые тензоры, введя тензорные
значки (3.1) как парные комбинации спинорных значков:
а = АА', Ь = ВВ\ с = СС', ..., а0 = Л0/$, .... (4.38)
Таким образом получим подсистему (S, Sa, Sb, ... ..., Sa, . •., S*---*,
...) комплексных мсровых тензоров, замкнутую относительно операций (3.11)
- (3.14), а также относительна операции комплегсного сопряжения (4.25),
действие которой здесь сводится к Su.V.wSu'.'.'.w- Инвариантными при
комплексном сопряжении элементами являются вещественные мировые тензоры:
а.*' "г - axu"'zw- Поля г>ещественных мировых тензоров образуют
подсистему {Т} полной системы {S}:
{т} = (т, т°, ть,..., та,..., т;:::*,...). (4.зэ)
Покажем, что этот процесс - именно то, что содержится в сопоставлении
(4.13); для эсого рассмотрим спиновую систему отсчета ешА, ejl для S* и
определим (при ел,г = ела)
60 = 11 3- О со о со +*л'v:
1 ¦ ут on со о со 1 со со
а2а= 1 " V2 KV' со о со +
63 = i ~w оч _со со - V]
(4.40)
Отсюда непосредственно следует (4.13), причем иа = иАА' и
a OsCi ОТ' АА' %t Г /л Л1\
и = и оа, и -и еА еА, (4.41)
в согласии с условием (3.20). Формулы (4.40) дают нам стандартный способ
определения шрового векторного базиса для любой данной спиншой системы
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 53
сД А А с а А 1 \ ео 8о' ' 1 8Г81'
отсчета. Важно, однако, что мы не обязаны всегда пользоваться этим
конкретным методом сопоставления. Иногда мы будем отдавать предпочтение
мировому векторному базису, полученному естественным образом с помощью
системы координат. В других случаях удобный базис задается световой
тетрадой ')
A' sa _ А'
А А' "а А А' (4.42)
2 80 8Г ' *3 81 80' '
В любом случае можно определить переводящие символы Инфельда - ван-дер-
Вердена [46, 110]:
a'f = 6>/1г/, а"га, = 6'в* V'- (4-43)
(Вспомним, что а=АА'; таким образом, свертывание имеет место
для абстрактных значков. С другой
стороны, не вводится никакой связи между а и W, так что по ним нет
суммирования. Каждое из соотношений (4.43)-это 16 уравнений.) Символы
Инфельда - ван-дер-Вердена - это в действительности просто
6а, только в них верхние и нижние индексы выражены на языке разных
базисов. Пример связи между спинорными и мировыми тензорными компонентами
величин можно записать как
'И) Б = яЬ ЗЗЗЗ'фШГфб Ч-a Пег а
яь (r)(r)' = tb*ae аад' (4.44)
Рассмотрим теперь удвоенный детерминант матрицы (4.13):
um'um'eme^r = uaubgab. (4.45)
При обратном преобразовании к абстрактным значкам это дает
________________ ""и" (е.4ВеД'В' - О =0 Н-46)
!) Автор пользуется термином "null", что означает изотропный,
светоподобный. Вместе с тем, часто встречается термин "null cone"-
световой конус. Для унификации в русском переводе делается попытка писать
"световой", хотя, конечно, комплексные изотропные векторы типа (5.3),
составленные из пространственноподобных частей, "световыми" называть не
следует, - Прим. перев.
54 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ
[ср. с (3.21)], и мы получаем [ввиду симметрии gаЬ и елвел,в, при
перестановке а и b и ввиду справедливости (4.46) для всех иа\
Sab = еАВеА'В'- (4-47)
Уравнение (4.47) представляет собой фундаментальное соотношение, с
помощью которого метрика пространства-времени определяется его спинорной
структурой. Отметим, в частности, что сигнатура (+,-,-,-) автоматически
включается в формализм через соотношение (4.47), так как выбор мирового
векторного базнса (4.40) дает нам значение
(4.15). Вследствие (4.47), (4.32) и (4.31) получим
gab - eABeA'B't gb _ е^вед,В',
ь (4-48)
Sab = Sba, SabSbc = ba,
так что правила поднятия и опускания спинорных индексов приводят к
тензорным правилам
ca:::=e6::x"; (4.49)
Итак, наш метод согласуется с обычными определениями.
Однако мы еще не связали локальную спинорную структуру с многообразием Ж
в целом. Чтобы связать различные S' (Р) друг с другом, необходимо
рассмотреть операцию дифференцирования. Дадим аксиоматическое определение
ряда правил, которые нам понадобятся. Нам потребуется ввести операцию
кова-риантного дифференцирования
• Se..!ah/'"'.k' -> Sf '.'.'.mxh'".'.'k'y'i (4.50) обладающую свойствами
vte + x:::)=v^:::+vc:; (4.5i)
v*y'0o;:;) = %.'.yxY^'.'.'. + ф;;^у,х;;;; (4.52)
^XY'eAB ~ In*** ~ (4.53)
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 55
Если 1|>"' = ^ ху' т0 ~
(4.54)
(4.55)
Операция КОММУТИРУЕТ С ЛЮБОЙ ЗАМЕНОЙ
индексов (не включающих X или Y');
(4.56)
(4.57)
УлУгф = Угулф;
Для ЛЮБОГО ПРОИЗВОДНОГО § НА Т СУЩЕСТВУЕТ ЕДИНСТВЕННЫЙ элемент е Та,
такой, что \ (ф) = ?а^аф для любого феТ.
(4.58)
В действительности аксиомы (4.51) - (4.58) не все друг от друга
независимы, однако в них выражены все свойства, которые нам нужны.
Отметим, что свойство (4.58) связывает {S} с пучком, касательным к Ж.
Мировые векторы оказываются векторами, касательными к Ж. Все эти свойства
